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Bayessche Regel-Ergebnisfrage: unrealistische Ergebnisse
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 Mi 10.09.2008
Autor: Kossah

Aufgabe 1
Aus statistischen Erhebungen weiß man, dass von 1000 Personen einer bestimmten Altersgruppe eine an einer bestimmten Krankheit leidet; 0,1% dieser Personen sind also krank und 99,9% leiden nicht an dieser Krankheit.
Da es im Folgenden nur um diese bestimmte Krankheit geht, sollen die nicht von ihr Betroffenen als gesund angesehen werden ( obwohl sie ja an einer anderen Krankhet leiden könnten).
Über den Diagnosetest weiß man aus Erfahrung, dass er in 95% der Fälle ein positives Ergebnis liefert, wenn die Krankheit vorliegt, und dass er in 98% der Fälle ein negatives Ergebnis liefert, wenn die Person gesund ist.
Eine zufällig ausgewählte Person hat ein positives Testergebnis.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie tatsächlich krank ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie tatsächlich gesund ist, wenn der Test negativ ausfällt?

Aufgabe 2
Die Wahrscheinlichkeit für einen Einbruch im Supermarkt beträgt 0,04%. Wenn eingebrochen wird, wird mit 99,5%iger Wahrscheinlichkeit Alarm ausgelöst. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehlalarm beträgt 0,1%.
Bei der Polizei wird ein Alarm im Supermarkt beobachtet.

a)Zeichne ein Baumdiagramm und das umgekehrte Baumdiagramm zu der oben geschilderten Situation.
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wirklich ein Einbruch stattfindet, wenn Alarm ausgelöst wird?
c)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Einbruch stattfindet, wenn Alarm ausgelöst wird?
d)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines Einbruchs, wenn Alarm ausgelöst wird, bei einer Wahrscheinlichkeit für einen Fehlalarm von nur 0,04&?

Guten Tag,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Diese Aufgaben haben wir schon im Unterricht besprochen und folgende Ergebnisse wurden vom Lehrer bestätig. Die Aufgaben wurden nach den Bayesschen Regeln berechnet. Auf meine Frage hin konnte mein Lehrer mir die Fragen aber nicht beantworten.
Antworten:

1a) 4,53 %
1b) 99,9%

Meine erste Frage bezieht sich schon auf 1a. Wie kann es sein, dass nur ca. 5% der Leute mit positivem Ergebnis tatsächlich krank sind?

Antworten Aufgabe 2:
2b) Kursergebnis: 28,48%
    meine Idee war, P(Einbruch) = P(Alarm1) - P(Fehlalarm)
                    P(Einbruch) = 0,994     - 0,001 = 99,4%

2c) Kursergebnis: 71%
    meine Idee war, dass der Wert vom Fehlalarm schon in     der Aufgabe steht P(Fehlalarm) = 0,1%

2d) Kursergebnis und mein Ergebnis: 99,46%



        
Bezug
Bayessche Regel-Ergebnisfrage: Bayes Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:14 Do 11.09.2008
Autor: clwoe

Hi,

also 1 a,b) stimmen. Warum das so ist? Na ja, ich würde ganz einfach sagen, das ich mich auf diesen Test nicht wirklich verlassen würde, wenn er positiv ausfällt. Der Test ist einfach ziehmlich ungenau, was dieses Ergebnis aussagt.

Nur weil der Test in vielen Fällen positiv ist wenn jemand krank ist, muss es andersherum nicht so sein. Man muss hier ganz genau unterscheiden!

2b) stimmt auch. Deine Idee geht nicht. Man muss hier wie bei der 1) auch den Bayes anwenden. So einfach wie du denkst ist es nicht.

2c) stimmt auch. Auch hier Bayes. Auch hier betrachtest du in deiner Idee nur eine bestimmte bedingte Wahrscheinlichkeit. Du lässt dabei die eigentliche Fragestellung ausser Acht!

2d) Das selbe wie bei 2b) nur das jetzt die bedingte Wahrscheinlichkeit für einen Fehlalarm eben noch kleiner ist.

Ich habe Ergebnis aber 49,88% raus.

Gruß,

clwoe


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