Bedeutung Diagonalmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 So 22.04.2007 | | Autor: | Pepe17 |
| Aufgabe | | finden Sie die orthogonale Transformationsmatrix S, welche die Matrix A mit einer Diagonalmatrix D verbindet. [mm]S^{-1}*A*S=D[/mm] |
Ich habe keine Probleme Aufgaben dieser Art zu lösen, jedoch habe ich keine Ahnung, was ich da eigentlich mache und wozu...
Die Diagonalmatrix D ensteht, indem man die Eigenwerte berechnet und diese auf der Hauptdiagonalen aufträgt.
Die Matrix S bilden die Eigenvektoren als Spaltenvektoren nebeneinander.
Doch was ist die Bedeutung von D bezüglich A bzw. der Abbildung?
Was ist die Bedeutung von S bezüglich A?
Oder einfach, warum gibt es Aufgaben solcher Art?
(Mir fehlt einfach ein wenig der Zusammenhang, das ergibt alles noch kein Bild für mich...)
Vielleicht kann mir jemand helfen,
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Nun, würdest du nicht immer am liebsten nur mit Diagonalmatrizen rechnen? Ist doch viel schöner als wenn du so gar keine Nullen drin hast, oder?
Das ist auch schon die Antwort auf das "warum?".
Wenn du eine Matrix zu einer Abbildung gegeben hast, dann üblicherweise bezüglich der Standardbasis. Um so eine hübsche Diagonalmatrix zu zaubern, muss du dich für eine andere Basis entscheiden, die Basis der Eigenvektoren. S ist nichts weiter als die Basiswechselmatrix. $ [mm] S^{-1}\cdot{}A\cdot{}S=D [/mm] $ bedeutet also nur, dass du $A$ nun in der Basis, die in S steht, darstellen willst und das Ergebnis des Basiswechsels ist die Matrix $D$.
Ich hoffe, dass dir das ein wenig weiter geholfen hat!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:23 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Pepe17 |
Aha! Jetzt ist alles wieder ein kleines bisschen klarer geworden! Danke.
Eine Frage hätte ich da noch bezüglich der oben beschriebenen Aufgabe.
Ich habe für die gegebene Matrix A die zugehörige S bestimmt, indem ich die Eigenvektoren von A als Spaltenvektoren nebeneinander gesetzt habe.
Wenn ich [mm]S^{-1}*A*S[/mm] berechne, erhalte ich auch die Diagonalmatrix der Eigenwerte. So weit so gut.
Jetzt soll aber laut Aufgabe S doch eine orthogonale Transformationsmatrix sein. Für meine S gilt aber nicht [mm] A^{T}=A^{-1} [/mm] .
habe ich mich verrechnet oder habe ich wieder ein Verständnisproblem?
Vielen Dank!
Pepe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 25.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Pepe17 |
leider bin ich immernoch nicht weiter gekommen.
wie gesagt, soll laut Aufgabe S doch eine orthogonale Transformationsmatrix sein. Für meine S gilt aber nicht $ [mm] A^{T}=A^{-1} [/mm] $ .
habe ich mich verrechnet oder habe ich wieder ein Verständnisproblem?
Vielen Dank!
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> wie gesagt, soll laut Aufgabe S doch eine orthogonale
> Transformationsmatrix sein. Für meine S gilt aber nicht
> [mm]A^{T}=A^{-1}[/mm] .
>
> habe ich mich verrechnet oder habe ich wieder ein
> Verständnisproblem?
Hallo,
im Genaueres zu erfahren, müßtest Du am besten Deine Matrix hier mit Deinen Rechnungen präsentieren, oder zumindest einige Informationen liefern.
Ist sie vielleicht symmetrisch? Hermitesch?
In diesen Fällen sind die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten automatisch orthogonal.
Nun kann es hier aber sein, daß der Eigenraum zu einem Eigenvektor [mm] \lambda [/mm] mehr als eindimensional ist.
Da brauchst Du dann eine orthogonale Basis des entsprechenden Eigenraumes, welche Du durch Orthogonalisieren der Dir vorliegenden Basis (per Inspiration oder Gram-Schmidt) gewinnst.
Gruß v. Angela
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