Bedingte Wahrscheinlichekit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Do 01.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Eine Nachricht bestehend aus [mm] m\ge{2} [/mm] Bytes wird verschickt.
Jedes Byte besteht aus 8 Bits. Die gesamte Nachricht enthält somit 8m Bits. Bei der Übermittlung der Nachricht können aufgrund von Übertragungsfehlern einzelne Bits unabhängig voneinander jeweils mit fester Wahrscheinlichkeit p (0<p<1) auf der Reise umkippen.
Der Empfänger der Nachricht interpretiert ein empfangenes Byte genau dann richtig im Sinne des Senders, wenn in diesem Byte
höchstens ein Bit umgekippt ist. Sei Ai das Ereignis, dass das i-te Byte richtig interpretiert wird (i =1,...,m).
(a) Berechnen Sie [mm] P[A_1].
[/mm]
(b) Bestimmen Sie [mm] P[A_1|A_2].
[/mm]
(c) Sei X die Gesamtzahl an Bits, die in der gesamten Nachricht umgekippt sind.
Berechnen Sie [mm] P[A_1|{X=3}]. [/mm] |
Hallo Leute,
also ich hab mir folgendes gedacht.
zu (a): [mm] P[A_1]=P[\text{Kein Bit kippt im ersten Byte um}]+P[\text{Genau ein Bit kippt im ersten Byte um}]=(1-p)^8+8\cdot{}(1-p)^7\cdot{p}=(1-p)^7\cdot{}(1+7p)
[/mm]
zu (b): Ich würd sagen, dass die Ereignisse [mm] A_i [/mm] unabhängig voneinander sind, d.h. es ist [mm] P[A_1|A_2]=P[A_1]=(1-p)^7\cdot{}(1+7p)
[/mm]
Ich bin mir da aber immer etwas unsicher; wie kann ich das überprüfen, dass die [mm] A_i [/mm] auch wirklich unabhängig sind??
zu (c): [mm] P[A_1|X=3]=\bruch{P[X=3|A_1]\cdot{}P[A_1]}{P[X=3]}=\?
[/mm]
Hier weiß ich nicht wie ich die einzelnen W'keiten berechnen kann.
Geht das vielleicht über die Verteilung von X und wenn ja wie ist X verteilt?
Herzlichen Dank schon mal für eventuelle Antworten!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 Do 01.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Eine Nachricht bestehend aus [mm]m\ge{2}[/mm] Bytes wird
> verschickt.
> Jedes Byte besteht aus 8 Bits. Die gesamte Nachricht
> enthält somit 8m Bits. Bei der Übermittlung der Nachricht
> können aufgrund von Übertragungsfehlern einzelne Bits
> unabhängig voneinander jeweils mit fester
> Wahrscheinlichkeit p (0<p<1) auf der Reise umkippen.
>
> Der Empfänger der Nachricht interpretiert ein empfangenes
> Byte genau dann richtig im Sinne des Senders, wenn in
> diesem Byte
> höchstens ein Bit umgekippt ist. Sei Ai das Ereignis,
> dass das i-te Byte richtig interpretiert wird (i
> =1,...,m).
>
> (a) Berechnen Sie [mm]P[A_1].[/mm]
> (b) Bestimmen Sie [mm]P[A_1|A_2].[/mm]
> (c) Sei X die Gesamtzahl an Bits, die in der gesamten
> Nachricht umgekippt sind.
> Berechnen Sie [mm]P[A_1|{X=3}].[/mm]
> Hallo Leute,
> also ich hab mir folgendes gedacht.
>
> zu (a): [mm]P[A_1]=P[\text{Kein Bit kippt im ersten Byte um}]+P[\text{Genau ein Bit kippt im ersten Byte um}]=(1-p)^8+8\cdot{}(1-p)^7\cdot{p}=(1-p)^7\cdot{}(1+7p)[/mm]
>
> zu (b): Ich würd sagen, dass die Ereignisse [mm]A_i[/mm]
> unabhängig voneinander sind, d.h. es ist
> [mm]P[A_1|A_2]=P[A_1]=(1-p)^7\cdot{}(1+7p)[/mm]
>
> Ich bin mir da aber immer etwas unsicher; wie kann ich das
> überprüfen, dass die [mm]A_i[/mm] auch wirklich unabhängig
> sind??
Wirklich "beweisen" kann man in der realen Situation nichts. Es ist ja eine Frage der Modellbildung, was man per definitionem als richtig postuliert an den Anfang setzt. Innnerhalb des mathematischen Modells kann man dann natürlich Aussagen beweisen. Diese folgen dann aber nur aus den Prämissen innerhalb des Modells. In der reduktionistischen Methode versucht man das Modell möglichst grundlegend zu formulieren, um durch Schlüsse im Modell möglichst viele Übereinstimmungen zwischen Vorhersagen im Modell und Beobachtungen im Experiment zu finden.
In diesem Sinne wäre dann
[mm] \Omega_i:=\{0,1\}, \mathcal{A}_i:=2^{\Omega_i}, P_i(.):=(1-p)*1_{\{.\}} (0)+p*1_{\{.\}}(1)
[/mm]
ein Modell für das Auftreten eines Fehlers eines einzelnen Bits.
Durch das Auftreten der im umgangsprachlichen Sinne zu interpretierenden Verwendung des Worts "Unabhängigkeit" in der Beschreibung des realen Sacxhverhalts geleitet, würde man als Modell für das Auftreten der Fehler in m Bytes einen Produktraum verwenden, da dadurch die Unabhängigkeit einzelner Bitfehler automatisch gewahrt bleibt:
[mm] \Omega=\times_{i=1}^{8m}\Omega_i, \mathcal{A}=\otimes_{i=1}^{8m}\mathcal{A}_i, P=\otimes_{i=1}^{8m}P_i [/mm]
Das Ereignis [mm] A_i [/mm] könnte dann durch eine ZV [mm] X_i:\Omega\to\IN;\omega=(\omega_1,...,\omega_{8m})\mapsto \summe_{k=8i-7}^{8i}\omega_k [/mm]
mit [mm] A_i:=\{X_i\le1\} [/mm] beschrieben werden, wodurch dann klar ist, dass wegen der Unabhängigkeit von [mm] X_i [/mm] und [mm] X_j [/mm] für [mm] i\not=j [/mm] die erwähnten Ereignisse unabhängig sind.
>
> zu (c):
> [mm]P[A_1|X=3]=\bruch{P[X=3|A_1]\cdot{}P[A_1]}{P[X=3]}=\?[/mm]
>
> Hier weiß ich nicht wie ich die einzelnen W'keiten
> berechnen kann.
> Geht das vielleicht über die Verteilung von X und wenn ja
> wie ist X verteilt?
Wenn man obigen Ansatz folgt, ist [mm] X(\omega)=\summe_{k=1}^{8m}\omega_i=\summe_{i=1}^8X_i, [/mm] welche binomial verteilt ist.
Was meinst Du?
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Do 01.07.2010 | | Autor: | dormant |
Hi gfm!
> > Eine Nachricht bestehend aus [mm]m\ge{2}[/mm] Bytes wird
> > verschickt.
> > Jedes Byte besteht aus 8 Bits. Die gesamte Nachricht
> > enthält somit 8m Bits. Bei der Übermittlung der Nachricht
> > können aufgrund von Übertragungsfehlern einzelne Bits
> > unabhängig voneinander jeweils mit fester
> > Wahrscheinlichkeit p (0<p<1) auf der Reise umkippen.
> >
> > Der Empfänger der Nachricht interpretiert ein empfangenes
> > Byte genau dann richtig im Sinne des Senders, wenn in
> > diesem Byte
> > höchstens ein Bit umgekippt ist. Sei Ai das Ereignis,
> > dass das i-te Byte richtig interpretiert wird (i
> > =1,...,m).
> >
> > (a) Berechnen Sie [mm]P[A_1].[/mm]
> > (b) Bestimmen Sie [mm]P[A_1|A_2].[/mm]
> > (c) Sei X die Gesamtzahl an Bits, die in der gesamten
> > Nachricht umgekippt sind.
> > Berechnen Sie [mm]P[A_1|{X=3}].[/mm]
> > Hallo Leute,
> > also ich hab mir folgendes gedacht.
> >
> > zu (a): [mm]P[A_1]=P[\text{Kein Bit kippt im ersten Byte um}]+P[\text{Genau ein Bit kippt im ersten Byte um}]=(1-p)^8+8\cdot{}(1-p)^7\cdot{p}=(1-p)^7\cdot{}(1+7p)[/mm]
>
> >
> > zu (b): Ich würd sagen, dass die Ereignisse [mm]A_i[/mm]
> > unabhängig voneinander sind, d.h. es ist
> > [mm]P[A_1|A_2]=P[A_1]=(1-p)^7\cdot{}(1+7p)[/mm]
> >
> > Ich bin mir da aber immer etwas unsicher; wie kann ich das
> > überprüfen, dass die [mm]A_i[/mm] auch wirklich unabhängig
> > sind??
>
> Wirklich "beweisen" kann man in der realen Situation
> nichts. Es ist ja eine Frage der Modellbildung, was man per
> definitionem als richtig postuliert an den Anfang setzt.
> Innnerhalb des mathematischen Modells kann man dann
> natürlich Aussagen beweisen. Diese folgen dann aber nur
> aus den Prämissen innerhalb des Modells. In der
> reduktionistischen Methode versucht man das Modell
> möglichst grundlegend zu formulieren, um durch Schlüsse
> im Modell möglichst viele Übereinstimmungen zwischen
> Vorhersagen im Modell und Beobachtungen im Experiment zu
> finden.
Stimme ich völlig zu. Jedoch lässt diese Aufgabe, bzgl der Frage ob A1 und A2 unabhängig sind, wenig Interpretationsspielraum. Man weiß, dass die ganze Familie von m Bits unabhängig ist. Daraus folgt, dass beliebige Teilfamilien davon untereinander unabhängig sind (nach der Definition der stochastischen Unabhängigkeit). Aber ein gescheites Modell hinschreiben ist immer i.O.
> In diesem Sinne wäre dann
>
> [mm]\Omega_i:=\{0,1\}, \mathcal{A}_i:=2^{\Omega_i}, P_i(.):=(1-p)*1_{\{.\}} (0)+p*1_{\{.\}}(1)[/mm]
>
> ein Modell für das Auftreten eines Fehlers eines einzelnen
> Bits.
>
> Durch das Auftreten der im umgangsprachlichen Sinne zu
> interpretierenden Verwendung des Worts "Unabhängigkeit" in
> der Beschreibung des realen Sacxhverhalts geleitet, würde
> man als Modell für das Auftreten der Fehler in m Bytes
> einen Produktraum verwenden, da dadurch die Unabhängigkeit
> einzelner Bitfehler automatisch gewahrt bleibt:
>
> [mm]\Omega=\times_{i=1}^{8m}\Omega_i, \mathcal{A}=\otimes_{i=1}^{8m}\mathcal{A}_i, P=\otimes_{i=1}^{8m}P_i[/mm]
>
> Das Ereignis [mm]A_i[/mm] könnte dann durch eine ZV
> [mm]X_i:\Omega\to\IN;\omega=(\omega_1,...,\omega_{8m})\mapsto \summe_{k=8i-7}^{8i}\omega_k[/mm]
> mit [mm]A_i:=\{X_i\le1\}[/mm] beschrieben werden, wodurch dann klar
> ist, dass wegen der Unabhängigkeit von [mm]X_i[/mm] und [mm]X_j[/mm] für
> [mm]i\not=j[/mm] die erwähnten Ereignisse unabhängig sind.
>
> >
> > zu (c):
> > [mm]P[A_1|X=3]=\bruch{P[X=3|A_1]\cdot{}P[A_1]}{P[X=3]}=\?[/mm]
> >
> > Hier weiß ich nicht wie ich die einzelnen W'keiten
> > berechnen kann.
> > Geht das vielleicht über die Verteilung von X und wenn
> ja
> > wie ist X verteilt?
>
> Wenn man obigen Ansatz folgt, ist
> [mm]X(\omega)=\summe_{k=1}^{8m}\omega_i=\summe_{i=1}^8X_i,[/mm]
> welche binomial verteilt ist.
>
> Was meinst Du?
>
> LG
>
> gfm
Grüße,
dormant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Do 01.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Stimme ich völlig zu. Jedoch lässt diese Aufgabe, bzgl
> der Frage ob A1 und A2 unabhängig sind, wenig
> Interpretationsspielraum.
Ja natürlich, jedoch schien die Aufgabe überschaubar genug, um mal diesen zusätzlichen philosophischen Balast verkraften zu können.
> Man weiß, dass die ganze Familie
> von m Bits unabhängig ist. Daraus folgt, dass beliebige
> Teilfamilien davon untereinander unabhängig sind (nach der
Du meinst bestimmt disjunkte Teilfamilien, oder?
> Definition der stochastischen Unabhängigkeit). Aber ein
> gescheites Modell hinschreiben ist immer i.O.
Training und Gewöhnung ist (fast) alles.
LG
gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Do 01.07.2010 | | Autor: | dormant |
> > Stimme ich völlig zu. Jedoch lässt diese Aufgabe, bzgl
> > der Frage ob A1 und A2 unabhängig sind, wenig
> > Interpretationsspielraum.
>
> Ja natürlich, jedoch schien die Aufgabe überschaubar
> genug, um mal diesen zusätzlichen philosophischen Balast
> verkraften zu können.
>
> > Man weiß, dass die ganze Familie
> > von m Bits unabhängig ist. Daraus folgt, dass beliebige
> > Teilfamilien davon untereinander unabhängig sind (nach der
>
> Du meinst bestimmt disjunkte Teilfamilien, oder?
Ja, danke. Disjunkt auf jeden Fall.
> > Definition der stochastischen Unabhängigkeit). Aber ein
> > gescheites Modell hinschreiben ist immer i.O.
>
> Training und Gewöhnung ist (fast) alles.
Präzision ist auch gut :)
> LG
>
> gfm
Grüße,
dormant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Do 01.07.2010 | | Autor: | gfm |
> > > Stimme ich völlig zu. Jedoch lässt diese Aufgabe, bzgl
> > > der Frage ob A1 und A2 unabhängig sind, wenig
> > > Interpretationsspielraum.
> >
> > Ja natürlich, jedoch schien die Aufgabe überschaubar
> > genug, um mal diesen zusätzlichen philosophischen Balast
> > verkraften zu können.
> >
> > > Man weiß, dass die ganze Familie
> > > von m Bits unabhängig ist. Daraus folgt, dass beliebige
> > > Teilfamilien davon untereinander unabhängig sind (nach der
> >
> > Du meinst bestimmt disjunkte Teilfamilien, oder?
>
> Ja, danke. Disjunkt auf jeden Fall.
>
> > > Definition der stochastischen Unabhängigkeit). Aber ein
> > > gescheites Modell hinschreiben ist immer i.O.
> >
> > Training und Gewöhnung ist (fast) alles.
>
> Präzision ist auch gut :)
>
Ja, stimmt, jedoch sollte man sich davon auch nicht einschüchtern lassen; lieber fehlerhaft beginnen, als perfekt zu zögern. Wichtig ist auch: TUN, und zwar -T-ag -U-nd -N-acht und selbst und ständig und der Austausch mit anderen.
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Do 01.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
> Ja, stimmt, jedoch sollte man sich davon auch nicht
> einschüchtern lassen; lieber fehlerhaft beginnen, als
> perfekt zu zögern. Wichtig ist auch: TUN, und zwar -T-ag
> -U-nd -N-acht und selbst und ständig und der Austausch mit
> anderen.
Vielen Dank euch beiden!! Den Spruch muss ich mir echt merken, der is ja genial :D!!
Noch ne Frage zur Teilaufgabe (c). Also ich hab jetzt mal eingesetzt und wollt mal fragen ob das so passt bzw. wie man noch weiter vereinfachen kann.
Also es gilt:
[mm] P[A_1|X=3]=\bruch{P[X=3|A_1]\cdot{}P[A_1]}{P[X=3]}=\bruch{{8m-8\choose 3}\cdot{}p^3\cdot{}(1-p)^{8m-11}\cdot{}(1-p)^7\cdot{}(1+7p)}{{8m\choose 3}\cdot{}p^3\cdot{}(1-p)^{8m-3}}=\bruch{{8m-8\choose 3}\cdot{}(1+7p)}{{8m\choose 3}\cdot{}(1-p)}=?
[/mm]
Kann man da noch was machen und stimmt das Ganze bisher überhaupt??
Herzlichen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Do 01.07.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
> > Ja, stimmt, jedoch sollte man sich davon auch nicht
> > einschüchtern lassen; lieber fehlerhaft beginnen, als
> > perfekt zu zögern. Wichtig ist auch: TUN, und zwar -T-ag
> > -U-nd -N-acht und selbst und ständig und der Austausch mit
> > anderen.
>
> Vielen Dank euch beiden!! Den Spruch muss ich mir echt
> merken, der is ja genial :D!!
>
> Noch ne Frage zur Teilaufgabe (c). Also ich hab jetzt mal
> eingesetzt und wollt mal fragen ob das so passt bzw. wie
> man noch weiter vereinfachen kann.
> Also es gilt:
>
> [mm]P[A_1|X=3]=\bruch{P[X=3|A_1]\cdot{}P[A_1]}{P[X=3]}=\bruch{{8m-8\choose 3}\cdot{}p^3\cdot{}(1-p)^{8m-11}\cdot{}(1-p)^7\cdot{}(1+7p)}{{8m\choose 3}\cdot{}p^3\cdot{}(1-p)^{8m-3}}=\bruch{{8m-8\choose 3}\cdot{}(1+7p)}{{8m\choose 3}\cdot{}(1-p)}=?[/mm]
>
Das sieht gut aus.
> Kann man da noch was machen und stimmt das Ganze bisher
> überhaupt??
> Herzlichen Dank!
Ich glaube das ist i. O. so. Man kann noch die Binomialkoeffizienten auflösen und es kürzt sich ein 3! raus, aber ich glaube nicht das lohnt sich. Ich würde das so lassen.
Grüße,
dormant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 Do 01.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Na prima, dann nochmals herzlichen Dank an alle beide!!
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