Bedingte Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein verwirrter Student sucht seine Mappe, welche er mit Wahrscheinlichkeit 0 < p < 1 nach der Kombinatorikprüfung im Unigebäude hat liegen lassen, und zwar, wenn es stimmt, mit gleich grosser Wahrscheinlichkeit in einer der 6 Etagen. Er hat schon ohne Erfolg in den ersten 5 Etagen nachgesehen. Wie wahrscheinlich ist jetzt noch, dass sich die Mappe im Unigebäude (und damit natürlich im 6. Stock) befindet?
Hinweis: Verwende die folgenden Ereignisse:
A1 Die Mappe ist im 6. Stock
A2 Die Mappe ist nicht im 6. Stock
B Die Mappe ist nicht in den ersten 5 Etagen
D Die Mappe ist im Unigebäude |
Zuerst bestimmte ich die Wahrscheinlichkeit der angegebenen Ereignisse:
[mm] $P(A_1) [/mm] = [mm] \frac{1}{6}p$
[/mm]
[mm] $P(A_2) [/mm] = 1 - [mm] \frac{1}{6}p$
[/mm]
$P(B) = [mm] \frac{5}{6}p$
[/mm]
$P(D) = p$
1. Frage: Stimmt mein P(B)
2. Frage:
[mm] $P(A_1) [/mm] = 1 - P(B|D)= [mm] \frac{1}{6}p \Rightarrow [/mm] P(B|D) = [mm] \frac{P(B\cap D)}{P(D)} [/mm] = 1 - [mm] \frac{1}{6}p$
[/mm]
[mm] $P(B\cap [/mm] D) = p - [mm] \frac{1}{6}p^2$
[/mm]
Somit
$P(D|B) = [mm] \frac{P(D\cap B)}{P(B)}) =\frac{p -1/6p^2}{5/6p^2} [/mm] = p.$
Ein sehr erstaunliches Resultat meiner Meinung nach. Wäre froh um eine Korrektur oder Bestätigung des Resultates.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Fr 05.09.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Ein verwirrter Student sucht seine Mappe, welche er mit
> Wahrscheinlichkeit 0 < p < 1 nach der Kombinatorikprüfung
> im Unigebäude hat liegen lassen, und zwar, wenn es stimmt,
> mit gleich grosser Wahrscheinlichkeit in einer der 6
> Etagen. Er hat schon ohne Erfolg in den ersten 5 Etagen
> nachgesehen. Wie wahrscheinlich ist jetzt noch, dass sich
> die Mappe im Unigebäude (und damit natürlich im 6. Stock)
> befindet?
> Hinweis: Verwende die folgenden Ereignisse:
> A1 Die Mappe ist im 6. Stock
> A2 Die Mappe ist nicht im 6. Stock
> B Die Mappe ist nicht in den ersten 5 Etagen
> D Die Mappe ist im Unigebäude
> Zuerst bestimmte ich die Wahrscheinlichkeit der
> angegebenen Ereignisse:
> [mm]P(A_1) = \frac{1}{6}p[/mm]
> [mm]P(A_2) = 1 - \frac{1}{6}p[/mm]
> [mm]P(B) = \frac{5}{6}p[/mm]
>
> [mm]P(D) = p[/mm]
>
> 1. Frage: Stimmt mein P(B)
Ich denke nicht.
Wenn sich die Mappe nicht in den ersten fünf Etagen befindet, dann gibt es dafür ja zwei Erklärungsmöglichkeiten: Entweder sie befindet sich in der sechsten Etage (p*1/6) oder sie wurde gar nicht vergessen (1-p). Diese beiden Ereignisse sind ausschließend und daher ist p(B)=1-p+p*1/6=1-p*5/6. Anders und einfacher überlegt: Das Komplementärereignis zu B ist, dass sich die Mappe in einer der ersten fünf Etagen befinden und dafür ist die Wahrsheinlichkeit 5*p/6.
Das Ereignis D ist unglücklich formuliert. Wenn der Student seine Mappe nicht vergessen hat, sie sich also ohnedies in seiner Tasche befindet und er diese Tasche bei der Suche bei sich trägt, dann ist die Mappe ja trotzdem auch im Uni-Gebäude. Aber ich denke du hast das Ereignis so interpretiert, wie es gemeint war.
> 2. Frage:
>
> [mm][mm] P(A_1) [/mm] = 1 - P(B|D)
Falsch! p(B/D) ist nicht das Gegenereignis von A1 (das ist A2).
p(B/D): Wie wissen, dass der Student die Mappe vergessen hat (D) und fragen nach der W., dass diese sich nicht in den ersten fünf Etagen befindet. Sie muss sich dann also zwangsäufig in der sechsten Etage befinden und dafür haben wir eine W. von 1/6.
> [mm]P(B\cap D) = p - \frac{1}{6}p^2[/mm]
> Somit
> [mm]P(D|B) = \frac{P(D\cap B)}{P(B)}) =\frac{p -1/6p^2}{5/6p^2} = p.[/mm]
Da wäre im Nenner das Quadrat zuviel, aber das Ergbnis würde sich so oder so sicher nicht zu p vereinfachen lassen. Wie kommst du da drauf?
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Besten Dank für deine Rückmeldung.
Das P(B) nicht stimmt und der restliche Teil auch nicht habe ich eingesehen.
Dann gilt es folgendes zu bestimmen: (?)
[mm] $P(A_1|D) [/mm] = [mm] \frac{P(A_1\cap D)}{P(D)}$
[/mm]
Wenn wir wissen, dass die Mappe an der Uni ist, dann ist ist die W'keit, dass die Mappe in der 6. Etage ist noch genau 1/6. Und das wäre somit das Resultat?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Sa 06.09.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Besten Dank für deine Rückmeldung.
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> Das P(B) nicht stimmt und der restliche Teil auch nicht
> habe ich eingesehen.
>
> Dann gilt es folgendes zu bestimmen: (?)
> [mm]P(A_1|D) = \frac{P(A_1\cap D)}{P(D)}[/mm]
>
> Wenn wir wissen, dass die Mappe an der Uni ist, dann ist
> ist die W'keit, dass die Mappe in der 6. Etage ist noch
> genau 1/6. Und das wäre somit das Resultat?
Das Resultat welche Fragestellung? Jener deiner Aufgabe sicher nicht. Das Ergebnis (gesucht ist noch immer [mm] $P(D|B)=P(A_1|\blue{B})$) [/mm] kann keinesfalls konstant und muss ja wohl von p abhängig sein. Für einen absolut nicht verwirrten Studenten für den p=0 ist, muss ja wohl auch die gesuchte W. Null sein. Umgekehrt wird das Ergebnis bei einem Student mit einer Verwirrtheitswahrscheinlichkeit von 100% auch 1 sein müssen. Natürlich ist der Verlauf von f(p):=P(D|B) mit P(D)=p zwischen (0/0) und (1/1) nicht linear. So erhält man zB bei einer Verwirrtheitswahrscheinlichkiet von immerhin 60% nur eine Wahrscheinlichkeit von 20% für P(D/B).
Gruß RMix
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Deine Erklärungen waren sehr einleuchtend. Jedoch weiss ich einfach nicht wie ich den Schnitt [mm] $P(D\cap [/mm] B)$ bestimmen soll, den ich für die bestimmung von $P(D|B)$ benötige. Wäre froh wenn du mir etwas expliziter helfen könntest.
Danke.
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Hallo,
> Deine Erklärungen waren sehr einleuchtend. Jedoch weiss
> ich einfach nicht wie ich den Schnitt [mm]P(D\cap B)[/mm] bestimmen
> soll, den ich für die bestimmung von [mm]P(D|B)[/mm] benötige.
> Wäre froh wenn du mir etwas expliziter helfen könntest.
>
Formuliere den Schnitt doch mal verbal. Also wo konkret ist die Mappe, wenn [mm] {B}\cap{D} [/mm] eintritt? Dann solltest du darauf kommen, wie denkbar einfach das hier geht.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Sa 06.09.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Deine Erklärungen waren sehr einleuchtend. Jedoch weiss
> ich einfach nicht wie ich den Schnitt [mm]P(D\cap B)[/mm] bestimmen
> soll, den ich für die bestimmung von [mm]P(D|B)[/mm] benötige.
Ach das ist dein Problem!
Nun, wenn wir bereits wissen, dass die Mappe vergessen wurde (Ereignis D), dann sind A1 und B gleichwertig. Also gilt
$ [mm] P(B|D)=P(A_1|D)$
[/mm]
und letzteres hattest du ja schon korrekt mit 1/6 ermittelt.
Damit sollte nun
[mm] $P(D\cap B)={P(D)}*{P(B|D)}=\br{p}{6}$
[/mm]
und auch das Endergebnis
[mm] $P(D|B)=\br{P(D\cap B)}{P(B)}$
[/mm]
kein Problem mehr sein.
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> Nun, wenn wir bereits wissen, dass die Mappe vergessen
> wurde (Ereignis D), dann sind A1 und B gleichwertig. Also
> gilt
> [mm]P(B|D)=P(A_1|D)[/mm]
> und letzteres hattest du ja schon korrekt mit 1/6
> ermittelt.
>
> Damit sollte nun
>
> [mm]P(D\cap B)={P(D)}*{P(B|D)}=\br{p}{6}[/mm]
>
> und auch das Endergebnis
>
> [mm]P(D|B)=\br{P(D\cap B)}{P(B)}[/mm]
>
> kein Problem mehr sein.
>
>
Mit $P(B) = [mm] \frac{p}{6}$ [/mm] ist $P(D|B) = 1 $, was auch nicht nicht stimmen kann.
Gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Sa 06.09.2014 | | Autor: | rmix22 |
> > Nun, wenn wir bereits wissen, dass die Mappe vergessen
> > wurde (Ereignis D), dann sind A1 und B gleichwertig. Also
> > gilt
> > [mm]P(B|D)=P(A_1|D)[/mm]
> > und letzteres hattest du ja schon korrekt mit 1/6
> > ermittelt.
> >
> > Damit sollte nun
> >
> > [mm]P(D\cap B)={P(D)}*{P(B|D)}=\br{p}{6}[/mm]
> >
> > und auch das Endergebnis
> >
> > [mm]P(D|B)=\br{P(D\cap B)}{P(B)}[/mm]
> >
> > kein Problem mehr sein.
> >
> >
>
> Mit [mm]P(B) = \frac{p}{6}[/mm] ist [mm]P(D|B) = 1 [/mm], was auch nicht
> nicht stimmen kann.
>
Nun, P(B) ist ja auch nicht p/6 - wie kommst du auf diese Idee. Den richtigen Wert von P(B) hatte ich dir bereits in meiner ersten Antwort genannt.
Gruß RMix
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Ein verwirrter Student benutzt vor allen Dingen die verwirrende Schreibweise der verwirrten Professoren mit Mengenklammern und Brimborium, während ein nicht-verwirrter Student sich einfach einen Baum aufmalt und das Problem sofort gelöst hat.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Im obigen Bild siehst du die Situation für alle möglichen Fälle, wobei der Student noch nicht gesucht hat. Nachdem er in den Stockwerken 1.-5. nichts gefunden hat, scheidet der ganz linke Zweig aus. Damit bleiben nur noch die gelb markierten Fälle übrig. Die W. dafür, dass diese überhaupt eintreten würden, betrug anfänglich 1/6 p + 1 - p = 1 - 5/6 p. Die W. dafür, dass sich die Tasche im 6. Stock befand, betrug 1/6 p.
Nachdem nun der Student die Tasche nicht im 1.-5. Stock gefunden hat, beträgt die W. für die gelb markierten Fälle nun 100 %. Der Anteil der - anfänglich - 1/6 p daran (!) beträgt
P = [mm] \bruch{1/6 p}{1-5/6 p}, [/mm] und genau das ist die gesuchte W.
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Beispiel: p=2/3, wir betrachten 1800 Fälle, die sich statistisch genau nach den W. verhalten.
in 1200 Fällen ist die Tasche in der Uni, in 200 im 6. Stock, in 1000 im 1.-5. Stock, in 600 woanders.
Alle Studenten suchen im 1.-5. Stock. 1000 davon finden dort ihre Tasche und gehen weg. Unser Freund gehört zu den verbliebenen 800. 200 von ihnen finden nun ihre Tasche im 6. Stock, die W. für einen von ihnen ist also 200/800=1/4.
P = [mm] \bruch{1/6*2/3}{1-5/6*2/3}=\bruch{1/9}{1-5/9}=1/4.
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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