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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:22 So 14.08.2016
Autor: scoubina

Aufgabe
Es werden zufällig zwei verschiedene Zahlen zwischen 1 und 10 gewählt. Sei X die Anzahl der gewählten Zahlen, die gerade sind.
a) Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl 3 gewählt wurde. Berechnen Sie P[X=2]
b) Finden Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass X=2, falls mindestens eine gerade Zahl gewählt wurde.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo Zusammen
Ich habe ein bisschen Probleme bei der Aufgabe b) Und zwar soll ich da die bedingte W'keit berechnen. Nun ich habe ja eine Formel für diese. In der Lösung brauchen Sie aber eine, die ich so noch nie gesehen habe. Und zwar steht da:
P[X=2|X [mm] \ge [/mm] 1]= [mm] \bruch{P[X=2]}{P[X \ge 1]} [/mm] = [mm] \bruch{P[X=2]}{P[X=1] + P[X=2]} [/mm]

Wie kommt man auf diese Formel? Meine Formel für die bedingte Warscheinlichkeit lautet laut Zusammenfassung eigentlich: [mm] P[A|B]=\bruch{P[B|A] * P[A]]}{P[B]} [/mm]

Kann mir das jemand erklären?
Vielen Dank!!

        
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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 So 14.08.2016
Autor: luis52


> Meine Formel für die
> bedingte Warscheinlichkeit lautet laut Zusammenfassung
> eigentlich: [mm]P[A|B]=\bruch{P[B|A] * P[A]]}{P[B]}[/mm]
>

Moin scoubina,

[willkommenmr]

*Deine* Formel ist eine Folgerung aus der Definition [mm] $P(A\mid B)=P(A\cap [/mm] B)/P(B)$ fuer $P(B)>0$. Versuch's mal damit.



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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:23 So 14.08.2016
Autor: scoubina

Hallo Luis.
Ach so, jetzt verstehe ich. Das heisst dann also, dass mein P(A [mm] \cap [/mm] B) in diesem Fall einfach P[X=2] ist, weil das in beiden Mengen vorkommt. Sehe ich das so richtig?
Wann weiss ich denn, ob ich die Formel von Bayes oder die allgemeine Formel verwenden muss?

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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:22 So 14.08.2016
Autor: mathfunnel

Alles was du brauchst ist die
Formel von Bayes!
Siehe meine Mitteilung unten.

LG mathfunnel

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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 So 14.08.2016
Autor: mathfunnel

Hallo scoubina!

Berechne doch mal [mm]P[X\geq 1| X=2][/mm]!

LG mathfunnel!

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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:25 So 14.08.2016
Autor: scoubina

Vielen Dank für deine Tipp. Das versuche ich ja und komm nicht weiter, drum auch meine Frage im Forum ;)

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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 So 14.08.2016
Autor: mathfunnel

Mir fällt es schwer zu glauben, dass du das wirklich versucht hast.

  [mm] P[X\geq 1| X=2] [/mm] = 1

Warum wohl?

Gruß mathfunnel

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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:48 So 14.08.2016
Autor: scoubina

Es tut mir wirklich leid. Aber ich steh grad total auf dem Schlauch. Wieso ergibt das 1? :S

Es verwirrt mich irgendwie. Also ausformuliert würde ich ja dann sagen: Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass X [mm] \ge [/mm] 1 ist, gegeben, dass X = 2 ist. Mir bereitet diese Formulierung ein Wenig Schwierigkeiten.

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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 So 14.08.2016
Autor: mathfunnel

Wenn [mm]X = 2[/mm] gegeben ist, dann
ist doch sicher auch [mm]X \geq 1[/mm], da [mm]2 \geq 1[/mm] ist.

LG mathfunnel

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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:13 So 14.08.2016
Autor: scoubina

Das heisst ich kann sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass X=2 ist zu hundertprozent gegeben ist, da meine Vorgabe ist, dass X=2 ist?

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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:34 So 14.08.2016
Autor: mathfunnel


> Das heisst ich kann sagen, dass die Wahrscheinlichkeit,
> dass X=2 ist zu hundertprozent gegeben ist, da meine
> Vorgabe ist, dass X=2 ist?

​[mm]X[/mm] ist gegeben. Was sollte es bedeuten, wenn es zu 5% gegeben ist?
​Es ist somit sicher (die W. ist 1), dass [mm]X\geq 1[/mm] unter dieser Bedingung ist.


LG mathfunnel
 

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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 So 14.08.2016
Autor: luis52

Hier eine formale Loesung: Setze [mm] $A=(X\ge [/mm] 1)$ und $B=(X=2)$. Wie du schon richtig erkannt hast, gilt [mm] $P(A\cap B)=P((X\ge 1)\cap [/mm] (X=2))=P(X=2)=P(B)$. Folglich ist

[mm] $P(X\ge 1\mid X=2)=P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B)}{P(B)}=1$. [/mm]  

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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:24 So 14.08.2016
Autor: scoubina

Hm, aber in der Lösung habe ich ja dann nicht [mm] \bruch{P[X=2]}{P[X=2]} [/mm] sondern [mm] \bruch{P[X=2]}{P[X\ge1]} [/mm] ?

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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:42 So 14.08.2016
Autor: luis52


> Hm, aber in der Lösung habe ich ja dann nicht  [mm]\bruch{P[X=2]}{P[X=2]}[/mm] sondern [mm]\bruch{P[X=2]}{P[X\ge1]}[/mm] ?

Hm, da hat mich mathfunnel anscheinen in den Wald gelockt. Tatsaechlich
ist

$P( [mm] X=2\mid X\ge 1)=P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{P(B)}{P(A)}= \frac{P( X=2)}{P(X\ge 1)}= \frac{P(X=2)}{P(X=1) + P(X=2)} [/mm] $

zu bestimmen. Den Rest kriegst du jetzt hin, oder?


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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 So 14.08.2016
Autor: scoubina

Vielen Dank. Den Rest sollte ich jetzt schaffen. Ich hätte nur noch kurz eine Frage zur Aufgabe a) Dort muss ich ja die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass die Zahl 3 gewählt wurde. Die Lösung ist dann: [mm] \bruch{\vektor{9 \\ 1}}{\vektor{10 \\ 2}}. [/mm] Wieso nehme ich da im Zähler nur eine 9 oben? Ich möchte ja die W'keit berechnen, dass ich die 3 nehme. Und ich habe ja 10 Zahlen zur Verfügung. Wieso dann nur 9?

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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 So 14.08.2016
Autor: luis52


> Vielen Dank. Den Rest sollte ich jetzt schaffen. Ich hätte
> nur noch kurz eine Frage zur Aufgabe a) Dort muss ich ja
> die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass die Zahl 3 gewählt
> wurde. Die Lösung ist dann: [mm]\bruch{\vektor{9 \\ 1}}{\vektor{10 \\ 2}}.[/mm]
> Wieso nehme ich da im Zähler nur eine 9 oben? Ich möchte
> ja die W'keit berechnen, dass ich die 3 nehme. Und ich habe
> ja 10 Zahlen zur Verfügung. Wieso dann nur 9?

Es werden zwei *verschiedene* Zahlen gewaehlt. Die 3 ist "dabei", wenn zusaetzlich eine der Zahlen 1,2,4,5,6,7,8,9,10,11 gewaehlt wird. Das sind 9 Zahlen.


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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:00 So 14.08.2016
Autor: scoubina

Ja ich verstehe was du meinst. Wenn ich mir das aber so durch den Kopf gehen lasse, würde es für mich mehr Sinn machen, wenn im Zähler stehen würde: [mm] \vektor{10 \\ 1}* \vektor{9 \\ 1}. [/mm] Das erste wäre dann die 3 die ich wähle und der Zweite Teil wäre die andere Zahl. Ist das völlig falsch überlegt?

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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 So 14.08.2016
Autor: luis52


> Ja ich verstehe was du meinst. Wenn ich mir das aber so
> durch den Kopf gehen lasse, würde es für mich mehr Sinn
> machen, wenn im Zähler stehen würde: [mm]\vektor{10 \\ 1}* \vektor{9 \\ 1}.[/mm]
> Das erste wäre dann die 3 die ich wähle und der Zweite
> Teil wäre die andere Zahl. Ist das völlig falsch
> überlegt?  

Du waehlst die 3 nicht [mm] $\binom{10}{1}=10$ [/mm] mal, sondern nur einmal...


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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:07 So 14.08.2016
Autor: scoubina

Hmmm bedeutet das nicht, dass ich aus 10 genau eine Zahl wähle?! Im Nenner steht ja dann auch [mm] \vektor{10 \\ 2}, [/mm] was doch bedeutet, dass ich aus 10 Zahlen 2 nehme. ?

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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 So 14.08.2016
Autor: luis52


> Hmmm bedeutet das nicht, dass ich aus 10 genau eine Zahl
> wähle?! Im Nenner steht ja dann auch [mm]\vektor{10 \\ 2},[/mm] was
> doch bedeutet, dass ich aus 10 Zahlen 2 nehme. ?

Richtig, [mm] $\binom{10}{2}$ [/mm] ist die Anzahl der Moeglichkeiten, aus 10 Zahlen 2 unterschiedliche auszuwaehlen und [mm] $\binom{9}{1}$ [/mm] ist die die Anzahl der Moeglichkeiten, nachdem die 3 "dabei" ist, aus 9 Zahlen  eine weitere auszuwaehlen.


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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:48 So 14.08.2016
Autor: scoubina

OK, alles klar. Also ist meine Überlegung falsch, weil ich schon davon ausgehe, dass ich die 3 gewählt habe und diese W'keit deshalb nicht mehr in der Formel vorkommt?

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:46 Mo 15.08.2016
Autor: luis52


> OK, alles klar. Also ist meine Überlegung falsch, weil ich
> schon davon ausgehe, dass ich die 3 gewählt habe und diese
> W'keit deshalb nicht mehr in der Formel vorkommt?

Das verstehe ich nicht. Wie dem auch sei: Unten findest du eine Tabelle mit alle 45 Auswahlen von 2 unterschiedlichen Zahlen aus [mm] $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ [/mm] in drei Spalten. Finde alle Auswahlen mit einer 3: Es sind 9.

       [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,]     9   10    4   10    2    8
[2,]     8   10    4    9    2    7
[3,]     8    9    4    8    2    6
[4,]     7   10    4    7    2    5
[5,]     7    9    4    6    2    4
[6,]     7    8    4    5    2    3
[7,]     6   10    3   10    1   10
[8,]     6    9    3    9    1    9
[9,]     6    8    3    8    1    8
[10,]    6    7    3    7    1    7
[11,]    5   10    3    6    1    6
[12,]    5    9    3    5    1    5
[13,]    5    8    3    4    1    4
[14,]    5    7    2   10    1    3
[15,]    5    6    2    9    1    2



Bezug
                                                        
Bezug
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:45 So 14.08.2016
Autor: mathfunnel


> Hm, aber in der Lösung habe ich ja dann nicht
> [mm]\bruch{P[X=2]}{P[X=2]}[/mm] sondern [mm]\bruch{P[X=2]}{P[X\ge1]}[/mm] ?

Du hast sogar die bed. W. auch im Zähler als Faktor $1$ (ich komme mit dem Editor nich so gut klar?!)
Damit ist das gleich der Bayeschen Formel.

LG funnel

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