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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:04 Sa 28.01.2017
Autor: magics

Aufgabe
Es geht um die Theorie hinter perfekten Kryptosystemen an einem einfachen Beispiel.

Gegeben sei:
Klartextraum P = {0,1} mit Pr(0) = [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] Pr(1) = [mm] \bruch{3}{4} [/mm]
Schlüsselraum K = {A,B} mit Pr(A) = [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] Pr(B) = [mm] \bruch{3}{4} [/mm]
Geheimtextraum C = {a,b}

Gegeben ist außerdem die Verschlüsselungsfunnktion [mm] E_k [/mm] mit
[mm] $E_A(0) [/mm] = a$, [mm] $E_A(1) [/mm] = b$, [mm] $E_B(0)=b$ [/mm] und [mm] $E_B(1) [/mm] = a$

Gesucht sind:
Pr(p|c) für alle Klartexte p und alle Schlüsseltexte c.

Hallo, ich komme da nicht weiter. Vermutlich stehe ich schon wieder irgendwo gewaltig auf dem Schlauch. Ich mache mal den Anfang:

Gesucht sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten Pr(0|a), Pr(1|a), Pr(0|b) und Pr(1|b). Da die anderen analog sind, betrachte ich nur Pr(0|a). Gemäß der bedingten Wahrscheinlichkeit ist:
$Pr(0|a) = [mm] \bruch{Pr(a \cap 0)}{Pr(a)}$ [/mm]

Für Pr(a) ergibt sich:
$Pr(a) = [mm] Pr(E_A(0)) [/mm] + [mm] Pr(E_B(1)) [/mm] = Pr(A) * Pr(0) + Pr(B) * Pr(1) = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{3}{4} [/mm] *  [mm] \bruch{3}{4} [/mm] = [mm] \bruch{10}{16}$ [/mm]

Nach dem Multiplikationssatz ist
$Pr(a [mm] \cap [/mm] 0) = Pr(a|0) * Pr(0)$

Damit ergäbe sich als Formel zum Ergebnis für Pr(0|a):
$Pr(0|a) = [mm] \bruch{Pr(a|0) * Pr(0)}{Pr(a)}$ [/mm]

Ich hab Probleme Pr(a|0) herauszufinden. Nachdem ich herumgeraten und mit Wahrscheinlichkeitsbäumen die Tapete verziert habe bin ich auf [mm] \bruch{1}{4} [/mm] gekommen. Ich finde aber keinen klar nachvollziehbaren mathematischen Weg dafür.

Bin für jede Erklärung dankbar!

        
Bezug
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:12 So 29.01.2017
Autor: donquijote

Hallo,

> Es geht um die Theorie hinter perfekten Kryptosystemen an
> einem einfachen Beispiel.
>  
> Gegeben sei:
>  Klartextraum P = {0,1} mit Pr(0) = [mm]\bruch{1}{4},[/mm] Pr(1) =
> [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
>  Schlüsselraum K = {A,B} mit Pr(A) = [mm]\bruch{1}{4},[/mm] Pr(B) =
> [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
>  Geheimtextraum C = {a,b}
>  
> Gegeben ist außerdem die Verschlüsselungsfunnktion [mm]E_k[/mm]
> mit
>  [mm]E_A(0) = a[/mm], [mm]E_A(1) = b[/mm], [mm]E_B(0)=b[/mm] und [mm]E_B(1) = a[/mm]
>  
> Gesucht sind:
>  Pr(p|c) für alle Klartexte p und alle Schlüsseltexte c.
>  Hallo, ich komme da nicht weiter. Vermutlich stehe ich
> schon wieder irgendwo gewaltig auf dem Schlauch. Ich mache
> mal den Anfang:
>  
> Gesucht sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten Pr(0|a),
> Pr(1|a), Pr(0|b) und Pr(1|b). Da die anderen analog sind,
> betrachte ich nur Pr(0|a). Gemäß der bedingten
> Wahrscheinlichkeit ist:
>  [mm]Pr(0|a) = \bruch{Pr(a \cap 0)}{Pr(a)}[/mm]
>  
> Für Pr(a) ergibt sich:
>  [mm]Pr(a) = Pr(E_A(0)) + Pr(E_B(1)) = Pr(A) * Pr(0) + Pr(B) * Pr(1) = \bruch{1}{4} * \bruch{1}{4} + \bruch{3}{4} * \bruch{3}{4} = \bruch{10}{16}[/mm]

korrekt

>  
> Nach dem Multiplikationssatz ist
>  [mm]Pr(a \cap 0) = Pr(a|0) * Pr(0)[/mm]

Das Ereignis [mm]a \cap 0[/mm] ist doch gleich [mm]A\cap 0[/mm] und damit
[mm]Pr(a \cap 0) = Pr(A) * Pr(0)=\frac{1}{16}\Rightarrow Pr(0|a)=\frac{Pr(a\cap 0)}{Pr(a)}=\frac{1}{10}[/mm].

>  
> Damit ergäbe sich als Formel zum Ergebnis für Pr(0|a):
>  [mm]Pr(0|a) = \bruch{Pr(a|0) * Pr(0)}{Pr(a)}[/mm]
>  
> Ich hab Probleme Pr(a|0) herauszufinden. Nachdem ich
> herumgeraten und mit Wahrscheinlichkeitsbäumen die Tapete
> verziert habe bin ich auf [mm]\bruch{1}{4}[/mm] gekommen. Ich finde
> aber keinen klar nachvollziehbaren mathematischen Weg
> dafür.
>  
> Bin für jede Erklärung dankbar!


Bezug
                
Bezug
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 So 29.01.2017
Autor: magics


> > Nach dem Multiplikationssatz ist
>  >  [mm]Pr(a \cap 0) = Pr(a|0) * Pr(0)[/mm]
>  
> Das Ereignis [mm]a \cap 0[/mm] ist doch gleich [mm]A\cap 0[/mm] und damit
>  [mm]Pr(a \cap 0) = Pr(A) * Pr(0)=\frac{1}{16}\Rightarrow Pr(0|a)=\frac{Pr(a\cap 0)}{Pr(a)}=\frac{1}{10}[/mm].

Hi, ich muss nochmal um eine etwas genauere Erklärung bitten, weshalb [mm]a \cap 0 = A\cap 0[/mm] ist. Ich verstehe das nicht...


Bezug
                        
Bezug
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:46 So 29.01.2017
Autor: paul92

Hallo magics,

für die drei Ereignisse a, A, 0 gelten

a [mm] \cap [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] A und A [mm] \cap [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a ,

oder, anders ausgedrückt, falls ein a als Kryptotext erscheint, dann wurde der Schlüssel A gewählt, und falls der Schlüssel A ausgewählt wurde, dann erscheint der Kryptotext a, jeweils unter der Voraussetzung, dass der Klartext 0 ist. Das geht aus den von dir zur Aufgabe gemachten Angaben hervor. Die beiden Ereignisse a [mm] \cap [/mm] 0 und A [mm] \cap [/mm] 0 sind damit gleich.

Ich kann deine Nachfrage verstehen, allerdings aus einem weiteren Grund. Die angegebene Lösung ist kurz und korrekt, hat jedoch m.E. einen Nachteil: sie erfordert einen "scharfen Blick", auf den man sich im Allgemeinen nicht verlassen kann, besonders dann, wenn die gegebene Aufgabe nicht so einfach ist. Ich will dir deshalb einen Vorschlag für einen allgemeineren Lösungsansatz machen:


p(a|0) = [mm] p(A|0)p(a|A\cap0) [/mm] + [mm] p(B|0)p(a|B\cap0) [/mm]
       = [mm] p(A)p(a|A\cap0) [/mm] + [mm] p(B)p(a|B\cap0) [/mm]
       = [mm] 1/4\cdot1 [/mm] + [mm] 3/4\cdot0 [/mm]
       = 1/4


Die erste Gleichung entspricht der "Formel der totalen Wahrscheinlichkeit", hier sieht sie etwas komplizierter aus, weil das Ereignis 0 als Bedingung eingeht. (Es ist also die gleiche Formel, nur dass anstelle eines "unbedingten Wahrscheinlichkeitsraums" ein bedingter W-Raum, nämlich mit der Bedingung, dass der Klartext 0 ist, verwendet wird.) Die zweite Gleichung ist gültig, weil A und B jeweils von 0 unabhängig sind. Der Rest dürfte dann wohl klar sein. (Falls nicht, bitte fragen!)

Dann gibt es noch eine Bemerkung: Die Stelle, die donquijote mit "korrekt" bewertet hat (die Rechnung für p(a)), solltest du dir noch einmal anschauen. Das Ergebnis ist korrekt, der Weg dahin jedoch nicht.

So, ich hoffe, das hilft etwas. Falls etwas unklar ist (ich könnte auch etwas an der Aufgabe falsch verstanden haben), bitte nachfragen!

Paul


Bezug
                                
Bezug
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:21 So 05.02.2017
Autor: magics

Hallo Paul,

ich komm erst jetzt dazu dir zu antworten. Ich danke dir vielmals für deine tolle Erklärung! Hat mir sehr geholfen!

Beste Grüße

Bezug
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