Bedingte Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 So 01.02.2009 | | Autor: | xchookie |
| Aufgabe | In einer Urne liegen drei Münzen, darunter zwei "gefälschte". Die Wahrscheinlichkeit, daß beim Werfen "Zahl" fällt, ist bei der ersten Münze 1/4, bei der zweiten 1/2 und bei der dritten 3/4. Eine der drei Münzen wird zufällig ausgewählt und vier mal geworfen.
Es bezeichne [mm] A_{i} [/mm] (i=1,2,3) das Ereignis, daß die i-te Münze ausgewählt wurde.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B, daß bei den ersten drei Würfen jeweils "Zahl" fällt.
b) Bestimmen Sie für i=1,2,3 die bedingte Wahrscheinlichkeit [mm] P(A_{i}|B) [/mm] dafür, daß am Anfang die i-te Münze ausgewählt wurde, wenn man bereits weiß, daß bei den ersten drei Würfen jeweils "Zahl" gefallen ist.
c) Es sei C das Ereignis, daß im vierten Wurf "Zahl" fällt. Bestimmen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P(C|B) dafür, daß beim vierten Wurf "Zahl" fällt, wenn man bereits weiß, daß bei den ersten drei Würfen jeweils "Zahl" gefallen ist. |
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Zu Teil a):
Die [mm] A_{i} [/mm] sind alle 1/3, da man ja nur 3 Münzen zur Auswahl hat.
Lässt sich nun für die Lösung der a) die totale Wahrscheinlichkeit benutzen, also: P(B) = [mm] P(B|A_{1})*P(A_{i})+P(B|A_{2})*P(A_{2})+P(B|A_{3})*P(A_{3}), [/mm] wobei
z.B. [mm] P(B|A_{i}) [/mm] = P(B [mm] \cap A_{i})/P(A_{i}); [/mm] muß hierbei dann noch das 1/3 berücksichtigt werden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Fr 06.02.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin xchookie,
zunaechst ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
B tritt ein, wenn in den ersten drei Wuerfen nur "Zahl" eintritt. Mithin koennen wir schreiben [mm] $B=Z_1\cap Z_2\cap Z_3$. [/mm] Nennen wir eines dieser Ereignisse Z. Dann gilt mit deinem Ansatz
$P(Z) = [mm] P(Z|A_{1})\cdot{}P(A_{1})+P(Z|A_{2})\cdot{}P(A_{2})+P(Z|A_{3})\cdot{}P(A_{3})=\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}+\frac{4}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$.
[/mm]
Da die Ereignisse unabhaengig sind, folgt [mm] $P(B)=(1/2)^3=1/8$.
[/mm]
vg Luis
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