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Forum "Uni-Stochastik" - Bedingte Wahrscheinlichkeit
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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 Sa 11.06.2011
Autor: Igor1

Aufgabe
Die Zuverläßigkeit einer Tuberkulose (Tbc)-Röntgenuntersuchung sei durch folgende Angaben gekennzeichnet:
90% der Tbc-kranken Personen werden durch Röntgen entdeckt
99% der Tbc-freien Personen werden als solche erkannt.
Aus einer großen Bevölkerung, von der 0,1% Tbc-krank sind, wird nun eine zufällig herausgegriffene Person geröntgt und als Tbc-verdächtig eingestuft.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person wirklich TBc-krank ist?

Hallo,

ich habe bis jetzt dazu folgende Gedanken gemacht:
Wir suchen die W'keit , dass die Person krank - unter der Bedingung : die Person ist verdächtig eingestuft - ist.
D.h P("krank"|"verdächtig")  mit A:= "krank" und B:="verdächtig.
P(A|B) = [mm] \bruch{P(A\cap B)}{P(B)} [/mm]
Dazu brauchen wir P(B) und [mm] P(A\cap [/mm] B)  bestimmen.

Wie kann man P(B) bestimmen?
Es gibt zwei Ereignisse wann eine Person als verdächtig eingestuft wird:
(1) sie ist krank
(2) sie ist gesund=:C
D.h P(B|A)= 90% , P(B|C)= 1%.

Kann man dann [mm] P(B)=P(B|A\cup [/mm] C) = P(B|A)+P(B|C) = 91% schreiben?
(A und C sind disjunkt)
Insbesondere gilt die Gleichheit ganz links und ob der rechte Term in dieser Gleichheit formal korrekt aufgeschrieben ist ? Ich vermute , dass es solche Rechenregeln für bedingte W'keiten gibt, habe darüber keine genauere Information.


Gruss
Igor


        
Bezug
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:42 Sa 11.06.2011
Autor: qsxqsx

Hallo,

P[Wirklich Krank|Krankgeschrieben] = [mm] \bruch{P[Krankgeschrieben|Wirklich Krank]*P[Wirklich Krank]}{P[Krankgeschrieben]} [/mm]

Ich bekomme 0.826

Gruss

Bezug
                
Bezug
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:11 Sa 11.06.2011
Autor: Igor1

Hallo,

mir ist nicht klar , wie Du vorgegangen bist.

Z.B wie hast Du P("krank" [mm] \cap [/mm] "verdächtig") und P("verdächtig") ausgerechnet?

Ich habe im letzten posting Fragen gestellt, auf die Du nicht eingegangen bist.
Kannst Du bezüglich dieser Fragen etwas dazu sagen?


Gruss
Igor




Bezug
                        
Bezug
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:56 So 12.06.2011
Autor: qsxqsx

Hallo,

Das ist die "Formel von Bayes".
Ich meinte eigentlich meine Rechung sei richtig:

P[Wirklich Krank|Krank geschrieben] = $ [mm] \bruch{P[Krankgeschrieben|Wirklich Krank]\cdot{}P[Wirklich Krank]}{P[Krankgeschrieben]} [/mm] $
= [mm] \bruch{0.9*0.001}{0.999*0.01 + 0.001*0.9} [/mm]
= ...

Grüsse

Bezug
                                
Bezug
Bedingte Wahrscheinlichkeit: viele falsch-positive Ergebn.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:32 So 12.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> Das ist die "Formel von Bayes".
>  Ich meinte eigentlich meine Rechung sei richtig:
>  
> $\ P[Wirklich\ Krank|Krank\ geschrieben] =$

> [mm]\bruch{P[Krankgeschrieben|Wirklich\ krank]\cdot{}P[Wirklich\ krank]}{P[Krankgeschrieben]}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{0.9*0.001}{0.999*0.01 + 0.001*0.9}[/mm]
>  = ...
>  
> Grüsse


Hi qsxqsx,

du hattest nur ein 10 mal zu großes zahlenmäßiges Ergebnis
angegeben:   0.826  anstatt 0.0826  !

Und genau in der unerwartet kleinen Wahrscheinlichkeit
liegt eigentlich ein "Witz" der Aufgabe:  Durch dieses
Röntgen-Screening einer Bevölkerung werden zunächst
recht viele untersuchte Personen durch einen Tuberkulose-
Verdacht verängstigt, der sich aber dann (nach weiteren
Untersuchungen) oft als Fehlalarm herausstellt. Von den
vielen Personen mit "positivem" Untersuchungsergebnis ist
am Ende (glücklicherweise) nur etwa jeder Zwölfte
wirklich an Tbc erkrankt.
Dieses Missverhältnis sollte natürlich ein starker Ansporn
sein, um die Untersuchungsmethode zu verfeinern, um
deutlich weniger falsch-positive Untersuchungsergebnisse
zu produzieren und dabei die eigentlich infizierten
Personen trotzdem möglichst alle zu erfassen.

LG  Al


Bezug
                                        
Bezug
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:48 So 12.06.2011
Autor: qsxqsx

Hi Al-Chwarizmi...

Au weia! Ich wollte es einfach nicht wahrhaben und habe meine Intuition mit ins ablesen der Zahl gebracht...

Danke...

Grüsse

Bezug
        
Bezug
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:27 So 12.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Igor

> Die Zuverläßigkeit einer Tuberkulose
> (Tbc)-Röntgenuntersuchung sei durch folgende Angaben
> gekennzeichnet:
>  90% der Tbc-kranken Personen werden durch Röntgen
> entdeckt
>  99% der Tbc-freien Personen werden als solche erkannt.
>  Aus einer großen Bevölkerung, von der 0,1% Tbc-krank
> sind, wird nun eine zufällig herausgegriffene Person
> geröntgt und als Tbc-verdächtig eingestuft.
>  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person
> wirklich TBc-krank ist?
>  Hallo,
>  
> ich habe bis jetzt dazu folgende Gedanken gemacht:
>  Wir suchen die W'keit , dass die Person krank - unter der
> Bedingung : die Person ist verdächtig eingestuft - ist.
>  D.h P("krank"|"verdächtig")  mit A:= "krank" und
> B:="verdächtig.
>  P(A|B) = [mm]\bruch{P(A\cap B)}{P(B)}[/mm]
>  Dazu brauchen wir P(B)
> und [mm]P(A\cap[/mm] B)  bestimmen.
>  
> Wie kann man P(B) bestimmen?
>  Es gibt zwei Ereignisse wann eine Person als verdächtig
> eingestuft wird:
>  (1) sie ist krank
>  (2) sie ist gesund=:C
>  D.h P(B|A)= 90% , P(B|C)= 1%.

Soweit in Ordnung.
  

> Kann man dann [mm]P(B)=P(B|A\cup[/mm] C) = P(B|A)+P(B|C) = 91%
> schreiben?

Nein.

>  (A und C sind disjunkt)
>  Insbesondere gilt die Gleichheit ganz links und ob der
> rechte Term in dieser Gleichheit formal korrekt
> aufgeschrieben ist ? Ich vermute , dass es solche
> Rechenregeln für bedingte W'keiten gibt, habe darüber
> keine genauere Information.

Korrekt kann man so argumentieren:

[mm] B=(B\cap{A})\cup(B\cap{C}) [/mm]

Da A und C disjunkt sind und [mm] P(A\cup{C})=1 [/mm] , folgt

[mm] P(B)=P(B\cap{A})+P(B\cap{C})=P(A)*P(B|A)+P(C)*P(B|C) [/mm]

Als Endergebnis bekomme ich übrigens etwas anderes
als qsxqsx.

Nebenfrage: du weißt schon, wie man bei solchen
Aufgaben mit Baumdiagrammen umgehen kann, oder ?

LG    Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:25 So 12.06.2011
Autor: Igor1

Hallo Al-Chwarizmi,

Danke für Deine Antwort.

Ja,ich habe schon was von Baumdiagrammen gehört.
Unter diesem Winkel werde ich dann die Aufgabe betrachten.


Gruss
Igor




Bezug
                        
Bezug
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:26 So 12.06.2011
Autor: Igor1

Hallo,

ich kam jetzt auch auf das Ergebnis 0,0826 .

Danke Euch für die Antworten !



Gruss
Igor


Bezug
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