Bedingter Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $\Omega, [/mm] F, P$ und eine Brownsche Bewegung W(t). Weiters sei F(t) die von ihr erzeugte Filtration.
Wir betrachten einen neuen Prozess
[mm] Z(t) =\begin{cases} W(1)-W(1-t), & \mbox{für } 0 \le t \le 1 \\ W(t), & \mbox{für } t>1 \end{cases}[/mm]
angenommen es gilt 0<t<1. Berechne [mm] $\mathbb{E}[Z(t)|F(s)]$ [/mm] für 0<s<1-t und für 1-t<s<1 |
Hallo,
Seit geraumer Zeit beschäftige ich mit ein bisschen mit Finanzmathe und Brownscher Bewegung etc. - wäre nett wenn jemand da mal drüberschauen könnte.
Da 0<t<1 gilt reduziert sich unser Prozess auf
$Z(t) = W(1)-W(1-t)$
Für den ersten Fall 0<s<1-t gilt also:
[mm] \mathbb{E}[Z(t)|F(s)] = \mathbb{E}[W(1)|F(s)] - \mathbb{E}[W(1-t)|F(s)] [/mm]
Da W(1) von der Filtration F(s) unabhängig ist
$= W(1) - [mm] \mathbb{E}[W(1-t)|F(s)]$ [/mm] , da s<1-t und die Brownsche Bewegung ein Martingal ist müsste also:
$= W(1) -W(1-s)$
Ist das bis daher mal richtig?
Beim zweiten Fall - also für 1-t<s<1 bin ich mir allerdings nicht ganz sicher... habt ihr eventuell Vorschläge?
Beste Grüße und Dank
Thomas
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Hiho,
> Da W(1) von der Filtration F(s) unabhängig ist
Warum sollte es das sein?
Stimmt im Übrigen auch nicht.
Was ist bei der Brownschen Bewegung unabhängig?
Beachte dabei, dass $0 < s < 1-t < 1$!
Gruß,
Gono
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> Hiho,
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> > Da W(1) von der Filtration F(s) unabhängig ist
>
> Warum sollte es das sein?
> Stimmt im Übrigen auch nicht.
> Was ist bei der Brownschen Bewegung unabhängig?
die Inkremente - hast recht.. das war ein Denkfehler.
Dann sollte das einfach W(s) sein ?
>
> Beachte dabei, dass [mm]0 < s < 1-t < 1[/mm]!
>
> Gruß,
> Gono
Gruß,
Thomas
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Hiho,
> Dann sollte das einfach W(s) sein ?
ja, und auch bei deinem zweiten Teil hast du einen Fehler gemacht, denn es gilt ja $s < 1-t$ und damit ist [mm] E[W(1-t)|F_s] [/mm] = ?
Und zur Kontrolle: Was weißt du bei 0<s<1-t<t über $W(1) - W(1-t)$ in Bezug auf [mm] $F_s [/mm] = [mm] F_{s-0}$?
[/mm]
Da kommt beide Male das Gleiche raus 
Gruß,
Gono
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> Hiho,
>
> > Dann sollte das einfach W(s) sein ?
>
> ja, und auch bei deinem zweiten Teil hast du einen Fehler
> gemacht, denn es gilt ja [mm]s < 1-t[/mm] und damit ist
> [mm]E[W(1-t)|F_s][/mm] = ?
klar auch W(s) natürlich puh... was für dumme Fehler..
also Erwartungswert Z(t)|F(s) = 0.
>
> Und zur Kontrolle: Was weißt du bei 0<s<1-t<t über [mm]W(1) - W(1-t)[/mm]
> in Bezug auf [mm]F_s = F_{s-0}[/mm]?
wie meinst du das?
für den anderen Fall gilt: 1-t <s <1
auf jeden Fall weiß ich wieder , dass [mm] $\mathbb{E}[W(1)|F(s)] [/mm] = W(s) ist , aber wieso weiß ich , dass [mm] $\mathbb{E}[W(1-t)|F(s)] [/mm] = W(s)$ , da ja s > t-1 ?
>
> Da kommt beide Male das Gleiche raus
>
> Gruß,
> Gono
Lg
Thomas
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Hiho,
> > Und zur Kontrolle: Was weißt du bei 0<s<1-t<t über [mm]W(1) - W(1-t)[/mm]
> > in Bezug auf [mm]F_s = F_{s-0}[/mm]?
> wie meinst du das?
Genau da hättest du so Argumentieren können wie vorher. Die beiden Inkremente 1 - (1-t) und s-0 sind disjunkt, darum ist W(1) - W(1-t) unabhängig von [mm] $F_{s-0} [/mm] = [mm] F_s$ [/mm] und damit gilt:
$E[W(1) - [mm] W(1-t)|F_s] [/mm] = E[W(1) - W(1-t)] = 0$
> auf jeden Fall weiß ich wieder , dass [mm]$\mathbb{E}[W(1)|F(s)][/mm] = W(s) ist
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber wieso weiß ich , dass [mm]$\mathbb{E}[W(1-t)|F(s)][/mm] = W(s)$ , da ja s > t-1 ?
Weißt du nicht. Da s>t-1 weißt du aber, dass W(1-t) [mm] F_s [/mm] meßbar ist und damit gilt?
Gruß,
Gono
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> Hiho,
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> > > Und zur Kontrolle: Was weißt du bei 0<s<1-t<t über [mm]W(1) - W(1-t)[/mm]
> > > in Bezug auf [mm]F_s = F_{s-0}[/mm]?
> > wie meinst du das?
>
> Genau da hättest du so Argumentieren können wie vorher.
> Die beiden Inkremente 1 - (1-t) und s-0 sind disjunkt,
> darum ist W(1) - W(1-t) unabhängig von [mm]F_{s-0} = F_s[/mm] und
> damit gilt:
>
> [mm]E[W(1) - W(1-t)|F_s] = E[W(1) - W(1-t)] = 0[/mm]
>
> > auf jeden Fall weiß ich wieder , dass
> [mm]$\mathbb{E}[W(1)|F(s)][/mm] = W(s) ist
>
>
>
> > aber wieso weiß ich , dass [mm]$\mathbb{E}[W(1-t)|F(s)][/mm] =
> W(s)$ , da ja s > t-1 ?
>
> Weißt du nicht. Da s>t-1 weißt du aber, dass W(1-t) [mm]F_s[/mm]
> meßbar ist und damit gilt?
naja zumindest von den elementaren Regelen der Bedingten Erwartung müsste dann:
[mm]$\mathbb{E}[W(1-t)|F(s)] = W(s) [/mm] , da ja gilt falls X bzgl F messbar ist : [mm] $\mathbb{E}[X|F]=X [/mm] $ ?
Gruß,
Thomas
>
> Gruß,
> Gono
>
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ich schließe eventuell gleich eine Frage /einige Fragen an:
Weiters soll in diesem Bsp Cov(Z(s),Z(t)) für 0<s<1<t berechnet werden.
Da also $s [mm] \in [/mm] (0,1)$ ist $ Z(s) = W(1)-W(1-s)$ und da t>1 ist Z(t) = W(t).
[mm]Cov[Z(s),Z(t)] = \mathbb{E}[(W(1)-W(1-s))W(t)] - \mathbb{E}[W(t)]\mathbb{E}[(W(1)-W(1-s)] [/mm]
da [mm] $\mathbb{E}[W(t)] [/mm] = $ folgt
$Cov[Z(s),Z(t)] = [mm] \mathbb{E}[(W(1)-W(1-s))W(t)] [/mm] = [mm] \mathbb{E}[(W(1)W(t)] [/mm] - [mm] \mathbb{E}[(W(1-s)W(t)] [/mm] $
da wir wissen, dass $Cov(W(s),W(t)) = [mm] \mathbb{E}[W(t)W(s)] [/mm] - [mm] \mathbb{E}[(W(t)]\mathbb{E}[(W(S)] [/mm] = min(s,t) $ gilt - folgt
[mm] $\mathbb{E}[(W(1)W(t)] [/mm] - [mm] \mathbb{E}[(W(1-s)W(t)] [/mm] = min(1,t)-min(t,1-s) = 1-1+s = s $.
passt das?
Sei außerdem: $f(t) = tW(t)$ Berechne
[mm] $Var[\integral_{0}^{t}f(s)dW(s)] [/mm] $ mit der Ito-Isometrie.
Hier wäre dann also
[mm] [mm] \mathbb{E}[(\integral_{0}^{t}f(s)dW(s))^2] [/mm] - [mm] \mathbb{E}[(\integral_{0}^{t}f(s)dW(s))]^2[/mm] [mm] letzteres ist allerdings 0, da [mm] $\mathbb{E}[W(s)] [/mm] = 0 $ und man eventuell noch mit Fubini begründen müsste, wieso Erwartungswert und Integral vertauscht werden dürfen.
also bleibt
[mm] $Var[\integral_{0}^{t}f(s)dW(s)] [/mm] = [mm] \mathbb{E}[(\integral_{0}^{t}f(s)dW(s))^2] [/mm] = [mm] \mathbb{E}[\integral_{0}^{t}f(s)^2 [/mm] ds] = [mm] $\integral_{0}^{t} s^2 \mathbb{E}[W(s)^2] [/mm] ds = [mm] \integral_{0}^{t} s^3 [/mm] ds = [mm] \frac{t^4}{4} [/mm] $
letztlich noch zu begründen, ob Z(t) adaptiert an F(t) ist und ob Z ein Gaußscher Prozess ist - hier würde ich allerdings sagen, dass Z(t) auf jeden Fall an F(t) adaptiert ist, da W(t) diese Filtration erzeugt und F(t) als Zusammensetzung von W somit adaptiert ist.
Auch die Eigenschaften für einen Gauß - Prozess haben wir bereits sogar größtenteils nachgerechnet ?
Lg und Danke
Thomas
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Hiho,
> Da also [mm]s \in (0,1)[/mm] ist [mm]Z(s) = W(1)-W(1-s)[/mm] und da t>1 ist Z(t) = W(t).
Deine Berechnung der Kovarianz ist richtig, aber viel zu kompliziert.
Die Kovarianz ist linear, also gilt:
Cov[Z(s),Z(t)] = Cov[W(1) - W(1-s),W(t)] = Cov[W(1),W(t)] - Cov[W(1-s),W(t)] = 1 - 1 -s = s
Letzendlich hast du die Linearität bei dir auf den EW zurückgeführt, brauchst du aber hier gar nicht.
> letzteres ist allerdings 0, da [mm]\mathbb{E}[W(s)] = 0[/mm] und man eventuell noch mit Fubini begründen müsste, wieso Erwartungswert und Integral vertauscht werden dürfen.
Autsch, autsch, autsch!
Da steht ein stochastisches Integral im Erwartungswert, da gibt es keinen Fubini.... *brrr*
Da solltest du also noch einmal stark nachdenken!
> letztlich noch zu begründen, ob Z(t) adaptiert an F(t) ist und ob Z ein Gaußscher Prozess ist - hier würde ich allerdings sagen, dass Z(t) auf jeden Fall an F(t) adaptiert ist, da W(t) diese Filtration erzeugt und F(t) als Zusammensetzung von W somit adaptiert ist.
Dein Z ist aber gar nicht nur von [mm] W_t [/mm] abhängig, sondern auch von [mm] $W_1$!
[/mm]
Seien X und Y [mm] F_t [/mm] meßbar, was gilt dann für X+Y?
Was würde dann für Z(t) + W(1-t) gelten im Falle [mm] $\bruch{1}{2} \le [/mm] t < 1$?
Gruß,
Gono.
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> Hiho,
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> > Da also [mm]s \in (0,1)[/mm] ist [mm]Z(s) = W(1)-W(1-s)[/mm] und da t>1 ist
> Z(t) = W(t).
>
> Deine Berechnung der Kovarianz ist richtig, aber viel zu
> kompliziert.
> Die Kovarianz ist linear, also gilt:
>
> Cov[Z(s),Z(t)] = Cov[W(1) - W(1-s),W(t)] = Cov[W(1),W(t)] -
> Cov[W(1-s),W(t)] = 1 - 1 -s = s
>
> Letzendlich hast du die Linearität bei dir auf den EW
> zurückgeführt, brauchst du aber hier gar nicht.
>
> > letzteres ist allerdings 0, da [mm]\mathbb{E}[W(s)] = 0[/mm] und man
> eventuell noch mit Fubini begründen müsste, wieso
> Erwartungswert und Integral vertauscht werden dürfen.
>
> Autsch, autsch, autsch!
> Da steht ein stochastisches Integral im Erwartungswert, da
> gibt es keinen Fubini.... *brrr*
>
> Da solltest du also noch einmal stark nachdenken!
hmmm - was wäre damit das Integral auf [mm] $F_{0}$ [/mm] zu bedingen? - da sollte dennoch Erwartungswer 0 rauskommen oder?
>
> > letztlich noch zu begründen, ob Z(t) adaptiert an F(t) ist
> und ob Z ein Gaußscher Prozess ist - hier würde ich
> allerdings sagen, dass Z(t) auf jeden Fall an F(t)
> adaptiert ist, da W(t) diese Filtration erzeugt und F(t)
> als Zusammensetzung von W somit adaptiert ist.
>
> Dein Z ist aber gar nicht nur von [mm]W_t[/mm] abhängig, sondern
> auch von [mm]W_1[/mm]!
>
> Seien X und Y [mm]F_t[/mm] meßbar, was gilt dann für X+Y?
>
> Was würde dann für Z(t) + W(1-t) gelten im Falle
> [mm]\bruch{1}{2} \le t < 1[/mm]?
>
> Gruß,
> Gono.
Gruß Thomas
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Hiho,
> hmmm - was wäre damit das Integral auf [mm]F_{0}[/mm] zu bedingen?
> - da sollte dennoch Erwartungswer 0 rauskommen oder?
Wenn es da rauskommen sollte, kannst du es ja sicherlich auch vorrechnen. Na dann mal los!
Tipp: Entweder du weißt etwas über Integrale der Form [mm] $\int_0^t [/mm] f(s) [mm] dW_s$ [/mm] oder du wendest die Itô-Formel mit [mm] $f_x(t,x) [/mm] = tx$ an.
Was ist mit der Adaptiertheit?
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> Hiho,
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> > hmmm - was wäre damit das Integral auf [mm]F_{0}[/mm] zu bedingen?
> > - da sollte dennoch Erwartungswer 0 rauskommen oder?
>
> Wenn es da rauskommen sollte, kannst du es ja sicherlich
> auch vorrechnen. Na dann mal los!
>
> Tipp: Entweder du weißt etwas über Integrale der Form
> [mm]\int_0^t f(s) dW_s[/mm] oder du wendest die Itô-Formel mit
> [mm]f_x(t,x) = tx[/mm] an.
ja es sollte eigentlich gelten, dass
[mm] $\mathbb{V}[\integral_{0}^{T}f(v)dW(v)] [/mm] = [mm] \mathbb{E}[\integral_{0}^{T}f(v)^2 [/mm] dv] $,
allerdings muss es ja mit der Ito-Formel auch gehen
also du meinst quasi : [mm] $f_{x}(s,x) [/mm] =sx $ und damit
$F(s,x) = [mm] \integral_{0}^{t}sx [/mm] dx $ - aber macht das nicht eigentlich nur Sinn um eine Ito-Prozess-Darstellung zu finden?
>
> Was ist mit der Adaptiertheit?
Für z.b [mm] $t=\frac{1}{2}$ [/mm] wäre dann Z(t) nicht messbar bzgl F(t), da ja z.B. W(1) nicht bzgl F(1/2) messbar ist. ? also wäre Z(t) nur für t>1 adaptiert?
Gruß
Thomas
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Hiho,
> ja es sollte eigentlich gelten, dass
> [mm]\mathbb{V}[\integral_{0}^{T}f(v)dW(v)] = \mathbb{E}[\integral_{0}^{T}f(v)^2 dv] [/mm],
Das gilt nur, wenn [mm] $E\left[\int_0^T f(s) dW_s\right] [/mm] = 0$ und das wollen wir ja zeigen.
> allerdings muss es ja mit der Ito-Formel auch gehen
> also du meinst quasi : [mm]f_{x}(s,x) =sx[/mm]
> und damit [mm]F(s,x) = \integral_{0}^{t}sx dx[/mm]
Hä?
> - aber macht das nicht eigentlich nur Sinn um eine Ito-Prozess-Darstellung zu finden?
Nein. Mit der Ito-Formel kannst du ganz leicht [mm] $E\left[\int_0^t sW_s dW_s\right]$ [/mm] berechnen, indem du eine Darstellung für [mm] \int_0^t sW_s dW_s [/mm] findest, für die du den EW einfach ausrechnen kannst.
Also dann mal los, deine Funktionswahl für [mm] f_x [/mm] war schon korrekt.
> Für z.b [mm]t=\frac{1}{2}[/mm] wäre dann Z(t) nicht messbar bzgl
> F(t), da ja z.B. W(1) nicht bzgl F(1/2) messbar ist. ?
Im Allgemeinen nicht, ja
> also wäre Z(t) nur für t>1 adaptiert?
Ja.
Gruß,
Gono
>
> Gruß
>
> Thomas
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> Hiho,
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> > ja es sollte eigentlich gelten, dass
> > [mm]\mathbb{V}[\integral_{0}^{T}f(v)dW(v)] = \mathbb{E}[\integral_{0}^{T}f(v)^2 dv] [/mm],
>
> Das gilt nur, wenn [mm]E\left[\int_0^T f(s) dW_s\right] = 0[/mm] und
> das wollen wir ja zeigen.
>
> > allerdings muss es ja mit der Ito-Formel auch gehen
> > also du meinst quasi : [mm]f_{x}(s,x) =sx[/mm]
>
>
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> > und damit [mm]F(s,x) = \integral_{0}^{t}sx dx[/mm]
>
> Hä?
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> > - aber macht das nicht eigentlich nur Sinn um eine
> Ito-Prozess-Darstellung zu finden?
>
> Nein. Mit der Ito-Formel kannst du ganz leicht
> [mm]E\left[\int_0^t sW_s dW_s\right][/mm] berechnen, indem du eine
> Darstellung für [mm]\int_0^t sW_s dW_s[/mm] findest, für die du
> den EW einfach ausrechnen kannst.
>
> Also dann mal los, deine Funktionswahl für [mm]f_x[/mm] war schon
> korrekt.
Ist dann einfach
[mm] $\integral_{0}^{t} f_x [/mm] dx $ zu berechnen?
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> > Für z.b [mm]t=\frac{1}{2}[/mm] wäre dann Z(t) nicht messbar bzgl
> > F(t), da ja z.B. W(1) nicht bzgl F(1/2) messbar ist. ?
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> Im Allgemeinen nicht, ja
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> > also wäre Z(t) nur für t>1 adaptiert?
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> Ja.
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> Gruß,
> Gono
> >
> > Gruß
> >
> > Thomas
Gruß Thomas
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Hiho,
nein, fangen wir mal vorne an: Wie sieht denn die Ito-Formel aus und wie musst du f wählen, damit dein gesuchtes Integral [mm] $\int_0^t sW_s dW_s$ [/mm] darin auftaucht?
Gruß,
Gono.
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> Hiho,
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> nein, fangen wir mal vorne an: Wie sieht denn die
> Ito-Formel aus und wie musst du f wählen, damit dein
> gesuchtes Integral [mm]\int_0^t sW_s dW_s[/mm] darin auftaucht?
ich lese in meinen Unterlagen die Ito Formel so:
$F(T,W(T)) = F(0,W(0)) + [mm] \integral_{0}^{T}F_{t}(t,W(t)) [/mm] + [mm] \frac{1}{2}F_{xx}(t,W(t))dt [/mm] + [mm] \integral_{o}^{T}F_{x}(t,W(t))dW(t) [/mm] $
mit [mm] $F_{x}(s,x) [/mm] = sx$ - würde dies dann im letzten Integral auftauchen?
>
> Gruß,
> Gono.
Gruß
Thomas
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Hiho,
> ich lese in meinen Unterlagen die Ito Formel so:
> [mm]F(T,W(T)) = F(0,W(0)) + \integral_{0}^{T}F_{t}(t,W(t)) + \frac{1}{2}F_{xx}(t,W(t))dt + \integral_{o}^{T}F_{x}(t,W(t))dW(t)[/mm]
>
> mit [mm]F_{x}(s,x) = sx[/mm] - würde dies dann im letzten Integral auftauchen?
Stelle dann nach deinem Integral um und du hast einen Prozess, von dem du den EW ausrechnen kannst.
Mach mal!
Gruß,
Gono
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So na gut...
Wir möchten [mm] $\mathbb{V}[\integral_{0}^{t}f(s)dW(s)]$ [/mm] berechnen.
Dazu ist nötig:
[mm] $\mathbb{E}[(\integral_{0}^{t}f(s)dW(s))^2]$ [/mm] und [mm] $\mathbb{E}[(\integral_{0}^{t}f(s)dW(s))]^2$
[/mm]
Das erste läuft über die Isometrie und wir beschäftigen uns mal nur mit [mm] $\mathbb{E}[(\integral_{0}^{t}f(s)dW(s))]^2$
[/mm]
Wir kennen die Ito- Formel also:
$F(t,W(t)) = F(0,0) - [mm] \integral_{0}^{t}F_{s}(s,x)+\frac{1}{2}F_{xx}(s,x)ds [/mm] + [mm] \integral_{0}^{t}F_{x}(s,x)dW(s)$
[/mm]
wobei: [mm] $F_{x}(s,x) [/mm] = sx$
damit:
$ [mm] \integral_{0}^{t}sx [/mm] dW(s) = [mm] F(t,W(t))-0-\integral_{0}^{t}F_{s}(s,x)ds [/mm] - [mm] \integral_{0}^{t}\frac{1}{2}F_{xx}(s,x)ds$
[/mm]
damit die anderen Integrale der Formel entsprechen muss $F(s,x) = [mm] \frac{1}{2}sx^2 [/mm] $
dann wäre
$ [mm] \integral_{0}^{t}sx [/mm] dW(s) = [mm] \frac{1}{2}st^2 [/mm] - [mm] \integral_{0}^{t}\frac{1}{2}x^2 [/mm] ds - [mm] \integral_{0}^{t}s [/mm] ds $
das sieht mir allerdings spanisch aus ...
?
Gruß,
Thomas
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Hiho,
du arbeitest schlampig und nur dadurch kommst du nicht weiter....
> Wir kennen die Ito- Formel also:
>
> [mm]F(t,W(t)) = F(0,0) - \integral_{0}^{t}F_{s}(s,x)+\frac{1}{2}F_{xx}(s,x)ds + \integral_{0}^{t}F_{x}(s,x)dW(s)[/mm]
In den Integralen steht als Argument nicht (s,x) sondern immer [mm] $(s,W_s)$
[/mm]
Dadurch setzt du falsch ein und kommst aufs falsche Ergebnis.
Dein sonstiger Weg ist aber richtig.
Also: Nochmal richtig einsetzen, dann auf beiden Seiten den EW bilden.
edit: Und mir ist aufgefallen, falsch eingesetzt hast du auch noch. Arbeite also ein bisschen sorgfältiger und versuche nicht den vierten Schritt vor dem ersten zu machen.
Bei dir wird dann plötzlich aus $F(t,W(t))$ dann auch [mm] $\bruch{1}{2}st^2$, [/mm] was natürlich völliger Blödsinn ist....
Gruß,
Gono
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Hiho,
> müsste dann:
> [mm]$\mathbb{E}[W(1-t)|F(s)] = W(s)[/mm]
Gruß,
Gono
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