Bedingter Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Omega, F, P).
1) Seien X und Y zwei quadrat-integrierbare Zufallsgrößen auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum, für die gilt: E(X|Y)=Y und E(Y|X)=X. Zeige, dass dann X=Y fast sicher.
(Hinweis: Betrachte den Ausdruck [mm] E((X-Y)^2).)
[/mm]
2) Seien X und Y nicht-negative oder integrierbare Zufallsvariable auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum. Zeigen Sie: Sind X und Y stochastisch unabhägig und identisch verteilt, so gilt E(X|X+Y)=E(Y|X+Y). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebes Matheforum,
ich habe diese zwei Übungsaufgaben, mit denen ich nicht ganz klar kommt. Es geht in der Vorlesung gerade um bedingte Wahrscheinlichkeit und bisher ging es immer um E(X|F) und dann halt über i-welche Partitionen von F. Das habe ich verstanden. Nun geht es aber um den Erwartungswert unter der Bedingung einer Zufallsvariablen und hier verstehe ich leider fast gar nicht mehr, wie ich mir das vorzustellen habe. Vllt kann mir da schon jemand weiterhelfen.
Nun zu den Aufgaben:
Da ich mir darunter wenig vorstellen kann, habe ich keine wirkliche Idee, wie ich an die Aufgabe herangehen soll. Der Hinweis hilft mir i-wie auch nicht weiter...
Die Aussagen an sich erscheinen mir eigentlich klar, wenn ich E(X|Y)=Y, dann muss X ja i-wie eine Obermenge von Y sein und genauso umgekehrt. Aber wie beweise ich das? :S
Lieben Gruß
Der Mathenator
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Mi 31.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Mathenator,
> ich habe diese zwei Übungsaufgaben, mit denen ich nicht
> ganz klar kommt. Es geht in der Vorlesung gerade um
> bedingte Wahrscheinlichkeit und bisher ging es immer um
> E(X|F) und dann halt über i-welche Partitionen von F. Das
> habe ich verstanden. Nun geht es aber um den Erwartungswert
> unter der Bedingung einer Zufallsvariablen und hier
> verstehe ich leider fast gar nicht mehr, wie ich mir das
> vorzustellen habe. Vllt kann mir da schon jemand
> weiterhelfen.
E(X|Y):=E(X|F) mit [mm] $F:=\sigma(Y)$.
[/mm]
Eine ganz gute (wenn auch nicht 100% richtige) Intuition:
Ein Beobachter erfährt nach Durchführung des zugrundeliegenden Zufallsexperiments nur den Wert der Zufallsgröße Y. Er nennt daraufhin den Wert, den X im Mittel (bei diesem Wert von Y) annimmt.
E(X|Y) ist die Zufallsgröße, die immer den vom Beobachter genannten Wert annimmt.
> Nun zu den Aufgaben:
> Da ich mir darunter wenig vorstellen kann, habe ich keine
> wirkliche Idee, wie ich an die Aufgabe herangehen soll. Der
> Hinweis hilft mir i-wie auch nicht weiter...
> Die Aussagen an sich erscheinen mir eigentlich klar, wenn
> ich E(X|Y)=Y, dann muss X ja i-wie eine Obermenge von Y
> sein und genauso umgekehrt. Aber wie beweise ich das? :S
Hm, was meinst du damit, dass eine Zufallsgröße Obermenge einer anderen sei?
Die Grundidee bei 1) besteht darin, X-Y=0 fast sicher zu zeigen, was wegen der quadratischen Integrierbarkeit von X und Y gleichbedeutend mit $Var(X-Y)=0$ ist.
Um $Var(X-Y)=0$ zu zeigen, zeige $E(X-Y)=0$ und [mm] $E((X-Y)^2)=0$.
[/mm]
Zu letzterem:
[mm] $E((X-Y)^2)=E(X^2+Y^2-2XY)=E(XE(Y|X)+YE(X|Y)-2XY)=\ldots$
[/mm]
Jetzt ein wenig mit den Rechenregeln für bedingte Erwartungswerte rumhantieren.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:19 Do 01.11.2012 | | Autor: | Mathenator |
> Hallo Mathenator,
>
>
> > ich habe diese zwei Übungsaufgaben, mit denen ich nicht
> > ganz klar kommt. Es geht in der Vorlesung gerade um
> > bedingte Wahrscheinlichkeit und bisher ging es immer um
> > E(X|F) und dann halt über i-welche Partitionen von F. Das
> > habe ich verstanden. Nun geht es aber um den Erwartungswert
> > unter der Bedingung einer Zufallsvariablen und hier
> > verstehe ich leider fast gar nicht mehr, wie ich mir das
> > vorzustellen habe. Vllt kann mir da schon jemand
> > weiterhelfen.
> E(X|Y):=E(X|F) mit [mm]F:=\sigma(Y)[/mm].
>
> Eine ganz gute (wenn auch nicht 100% richtige) Intuition:
> Ein Beobachter erfährt nach Durchführung des
> zugrundeliegenden Zufallsexperiments nur den Wert der
> Zufallsgröße Y. Er nennt daraufhin den Wert, den X im
> Mittel (bei diesem Wert von Y) annimmt.
> E(X|Y) ist die Zufallsgröße, die immer den vom
> Beobachter genannten Wert annimmt.
>
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> > Nun zu den Aufgaben:
> > Da ich mir darunter wenig vorstellen kann, habe ich
> keine
> > wirkliche Idee, wie ich an die Aufgabe herangehen soll. Der
> > Hinweis hilft mir i-wie auch nicht weiter...
> > Die Aussagen an sich erscheinen mir eigentlich klar,
> wenn
> > ich E(X|Y)=Y, dann muss X ja i-wie eine Obermenge von Y
> > sein und genauso umgekehrt. Aber wie beweise ich das? :S
> Hm, was meinst du damit, dass eine Zufallsgröße
> Obermenge einer anderen sei?
>
>
> Die Grundidee bei 1) besteht darin, X-Y=0 fast sicher zu
> zeigen, was wegen der quadratischen Integrierbarkeit von X
> und Y gleichbedeutend mit [mm]Var(X-Y)=0[/mm] ist.
>
> Um [mm]Var(X-Y)=0[/mm] zu zeigen, zeige [mm]E(X-Y)=0[/mm] und [mm]E((X-Y)^2)=0[/mm].
>
> Zu letzterem:
>
> [mm]E((X-Y)^2)=E(X^2+Y^2-2XY)=E(XE(Y|X)+YE(X|Y)-2XY)=\ldots[/mm]
>
> Jetzt ein wenig mit den Rechenregeln für bedingte
> Erwartungswerte rumhantieren.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
Lieber Tobias,
vielen Dank, du hast mir schon mal sehr weitergeholfen, sowohl beim Verständnis als auch bei der einen Aufgabe. Mein Prof hielt diese Sachen wohl alle für unnötg zu erwähnen bzw. bekannt, was sie mir nicht waren.
Lieben Gruß
Der Mathenator
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 01.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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