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Forum "Rationale Funktionen" - Bedingung für hebb. def.lücke
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Bedingung für hebb. def.lücke: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:58 Sa 17.04.2010
Autor: MontBlanc

Hallo,

für eine hebbare Definitionslücke gibt es ja zwei Kriterien, zum einen wäre das eine Nullstelle des Nenner, deren links- und rechtsseitiger Grenzwert endlich und gleich ist. Oder aber eine doppelte Nullstelle, also Zähler und Nenner für denselben x-Wert gleich null.

Ist das zweite Kriterium vollkommen ausreichend ? Gibt es Ausnahmen, muss ich mehr überprüfen ? Manchmal, wenn die Funktionen etwas unschöner sind, wäre die Geschichte mit der doppelten Nullstelle einfacher als links und rechtsseitige Grenzwerte bestimmen zu müssen.

Lg

        
Bezug
Bedingung für hebb. def.lücke: Gegenbeispiel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:09 Sa 17.04.2010
Autor: Loddar

Hallo MontBlanc!


Das erste Kriterium habe ich nicht ganz verstanden ... [kopfkratz3]


Aber hier mal ein Beispiel, dass das zweite Kriterium nicht unbedingt auf "hebbare Definitionslücke" schließen lässt:

$$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x^2-3x+2}{x^2-2x+1}$$ [/mm]
Zähler und Nenner haben die Nullstelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ .

Es gilt aber auch:
$$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x^2-3x+2}{x^2-2x+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(x-1)*(x-2)}{(x-1)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x-2}{x-1}$$ [/mm]
Und wie man sieht, ist die Definitionslücke immer noch nicht hebbar.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Bedingung für hebb. def.lücke: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:25 Sa 17.04.2010
Autor: MontBlanc

Hallo,

Danke für deine Antwort :)
was ich meinte mit dem ersten kriterium:

Es muss an der stelle [mm] x_0 [/mm] eine Definitionslücke vorliegen, und der Grenzwert an an der Stelle [mm] x_0 [/mm] , also [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}f(x) [/mm] muss existieren, dies ist doch gleichbedeutend mit rechts- und linksseitiger grenzwert an der Stelle [mm] x_0 [/mm] sind gleich, oder ?

lg

Bezug
                        
Bezug
Bedingung für hebb. def.lücke: ja
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:33 Sa 17.04.2010
Autor: Loddar

Hallo!


Ach so ....


> Es muss an der stelle [mm]x_0[/mm] eine Definitionslücke vorliegen,
> und der Grenzwert an an der Stelle [mm]x_0[/mm] , also
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}f(x)[/mm] muss existieren, dies ist
> doch gleichbedeutend mit rechts- und linksseitiger
> grenzwert an der Stelle [mm]x_0[/mm] sind gleich, oder ?

Ja.


Gruß
Loddar


Bezug
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