Bedingungen Hochpunkt etc. < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 So 20.09.2009 | | Autor: | Nikurasu |
| Aufgabe | Nennen Sie die notwendige und hinreichende Bedingung für einen Hochpunkt.
Nennen Sie die notwendige und hinreichende Bedingung für einen Tiefpunkt.
Nennen Sie die notwendige und hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt. |
Vorab: Ich bin in einem Grundkurs für Mathematik.
Wir behandeln zurzeit Optimierungsaufgaben und habe dazu zwei Fragen.
1) Wir sollten die drei oben stehenden Fragen in einem Test beantworten. Diese Fragen kamen überraschend für uns, da wir zuvor noch nichts dazu aufgeschrieben haben und unser Lehrer 'ne Schlaftablette ist. Wir wissen weder was mit notwendig und hinreichend gemeint ist, noch wie darauf zu antworten ist. Ich bitte daher um eine kurze Erklärung und die entsprechenden Lösungen, weil ich dazu nichts finde.
2) Ich schreibe morgen eine Klausur, wo auch Optimierungsaufgaben dran kommen.
Ich weiß vom Prinzip her, wie ich verfahren muss, bloß habe ich zwei Probleme:
a) ich habe Schwierigkeiten auf die richtige Formel zur Volumen- oder Flächenberechnung zu kommen.
Wenn ich die Formel habe, kann ich damit umgehen. (Also statt zwei Unbekannten "h" oder "r²" nur eine, indem man danach umstellt)
Doch nun Problem
b) Wenn ich zur Zielfunktion gekommen bin, weiß ich nicht, wie ich weitermachen muss. Also ich muss ja dann - je nach dem - Tief-/Wende-/Hochpunkte bestimmen. Bloß wie?
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Hallo Nikurasu,
> Nennen Sie die notwendige und hinreichende Bedingung für
> einen Hochpunkt.
> Nennen Sie die notwendige und hinreichende Bedingung für
> einen Tiefpunkt.
> Nennen Sie die notwendige und hinreichende Bedingung für
> einen Wendepunkt.
> Vorab: Ich bin in einem Grundkurs für Mathematik.
>
> Wir behandeln zurzeit Optimierungsaufgaben und habe dazu
> zwei Fragen.
>
> 1) Wir sollten die drei oben stehenden Fragen in einem Test
> beantworten. Diese Fragen kamen überraschend für uns, da
> wir zuvor noch nichts dazu aufgeschrieben haben und unser
> Lehrer 'ne Schlaftablette ist. Wir wissen weder was mit
> notwendig und hinreichend gemeint ist, noch wie darauf zu
> antworten ist. Ich bitte daher um eine kurze Erklärung und
> die entsprechenden Lösungen, weil ich dazu nichts finde.
>
> 2) Ich schreibe morgen eine Klausur, wo auch
> Optimierungsaufgaben dran kommen.
> Ich weiß vom Prinzip her, wie ich verfahren muss, bloß
> habe ich zwei Probleme:
> a) ich habe Schwierigkeiten auf die richtige Formel zur
> Volumen- oder Flächenberechnung zu kommen.
Gibt es hierfür ein konkretes Beispiel?
>
> Wenn ich die Formel habe, kann ich damit umgehen. (Also
> statt zwei Unbekannten "h" oder "r²" nur eine, indem man
> danach umstellt)
>
> Doch nun Problem
> b) Wenn ich zur Zielfunktion gekommen bin, weiß ich
> nicht, wie ich weitermachen muss. Also ich muss ja dann -
> je nach dem - Tief-/Wende-/Hochpunkte bestimmen. Bloß wie?
Schau mal hier: Extremstelle.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 So 20.09.2009 | | Autor: | Nikurasu |
| Aufgabe | | Messzylinder mit einem Volumen von 65 cm³ sollen so produziert werden, dass der Glasverbrauch möglichst gering wird. Welchen Radius und welche Höhe sollte man wählen? |
Also, geht los mit einer Skizze.
Dann stelle ich die Hauptbedigung auf:
A = 2 [mm] \pi [/mm] r h + [mm] \pi [/mm] r²
Dann die Nebenbedingung:
V = 65 cm³
V = r² * [mm] \pi [/mm] * h
Dann stelle ich die Nebenbedingung nach h um...
[mm] V/r^2*\pi [/mm] = h
Das setze ich dann in die Hauptbedingung ein:
A = 2 [mm] \pi [/mm] r * [mm] (V/r^2*\pi) [/mm] + [mm] \pi [/mm] * r²
und komme dann auf
A = 2 * V / r + [mm] \pi [/mm] * r²
und setze dann für V die 65 cm³
aber, wie gehts dann weiter...
da sind wir beim Thema tiefpunkt...
und wie ist das jetzt mit notwendige und hinreichende Bedingung bzw. dem per Hand lösen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 So 20.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nikurasu!
Zunächst benötigst Du die beiden ersten Ableitungen $A'(r)_$ bzw. $A''(r)_$ .
Und dann musst Du die Nullstellen(n) der 1. Ableitung (= notwendige Bedingung) ermitteln.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 So 20.09.2009 | | Autor: | Nikurasu |
Also....
A ' (r) = -130 * [mm] r^{-1} [/mm] + 2 * [mm] \pi [/mm] * r
A '' (r) = 260 * [mm] r^{-3} [/mm] + 2 * [mm] \pi
[/mm]
Richtig??
Wie gehts danach weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 So 20.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nikurasu!
> Also....
> A ' (r) = -130 * [mm]r^{-1}[/mm] + 2 * [mm]\pi[/mm] * r
Wohl ein Tippfehler: es muss [mm] $r^{-\red{2}}$ [/mm] heißen.
> A '' (r) = 260 * [mm]r^{-3}[/mm] + 2 * [mm]\pi[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Weiter geht es dann wie bereits beschrieben: Löse $A'(r) \ = \ 0$ nach $r \ = \ ...$ auf.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 So 20.09.2009 | | Autor: | Nikurasu |
Ja, war ein Tippy!
Okay, dann hab ich das soweit voreinander...
Danke für die Hilfe...
Nun nochmal eine ganz allgemeine Frage, ob ich das richtig verstanden habe.
Also...
bei einem Hoch-, Tief- und Wendepunkt ist die notwendige Bedingung immer:
F'(x) = 0
und die hinreichende Bedingung für
einen Tiefpunkt: F''(x) > 0
einen Hochpunkt: F''(x) < 0
einen Wendepunkt: F''(x) [mm] \not=0
[/mm]
Richtig???
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Hallo Nikurasu,
> Ja, war ein Tippy!
>
> Okay, dann hab ich das soweit voreinander...
>
> Danke für die Hilfe...
>
> Nun nochmal eine ganz allgemeine Frage, ob ich das richtig
> verstanden habe.
> Also...
> bei einem Hoch-, Tief- und Wendepunkt ist die notwendige
> Bedingung immer:
> F'(x) = 0
>
> und die hinreichende Bedingung für
>
> einen Tiefpunkt: F''(x) > 0
> einen Hochpunkt: F''(x) < 0
> einen Wendepunkt: F''(x) [mm]\not=0[/mm]
>
> Richtig???
Was die Extremstellen betrifft, ja.
Für einen Wendepunkt ist die notwendige Bedingung [mm]F''\left(x\right)=0[/mm].
Hinreichend für das Vorliegen eines Wendepunktes ist [mm]F'''\left(x\right) \not= 0[/mm].
Gruss
MathePower
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> Nennen Sie die notwendige und hinreichende Bedingung für einen Hochpunkt.
> Nennen Sie die notwendige und hinreichende Bedingung für einen Tiefpunkt.
> Nennen Sie die notwendige und hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt.
> 1) Wir sollten die drei oben stehenden Fragen in einem Test
> beantworten. Diese Fragen kamen überraschend für uns, da
> wir zuvor noch nichts dazu aufgeschrieben haben und unser
> Lehrer 'ne Schlaftablette ist. Wir wissen weder was mit
> notwendig und hinreichend gemeint ist, noch wie darauf zu
> antworten ist. Ich bitte daher um eine kurze Erklärung und
> die entsprechenden Lösungen, weil ich dazu nichts finde.
Falls die Lehrkraft die Begriffe während einer deiner
Schlafattacken erläutert haben sollte, hier eine kleine
Nachhilfe im Fall Hochpunkt:
Vorausgesetzt ist wohl, dass die betrachtete Funktion
mindestens zweimal ableitbar ist. Falls der Graph einer
solchen Funktion im Inneren des Definitionsbereiches
einen Hochpunkt $\ [mm] H(x_H\ [/mm] |\ [mm] y_H)$ [/mm] hat, so muss in diesem Punkt
eine waagrechte Tangente vorliegen. Für die Ableitung
bedeutet dies, dass [mm] f'(x_H)=0 [/mm] sein muss. Das ist die
notwendige Bedingung für einen Hochpunkt. Dies
allein vorausgesetzt reicht aber nicht aus, um behaup-
ten zu können, dass an der Stelle [mm] x_H [/mm] tatsächlich ein
Hochpunkt vorliegt - es könnte z.B. ebensogut ein Tief-
punkt oder ein Terrassenpunkt sein. Im Falle, dass
[mm] f'(x_H)=0 [/mm] ist, liefert aber die weitere Aussage, dass
[mm] f''(x_H) [/mm] negativ ist, ein hinreichendes Argument dafür,
dass der Graph von f in $\ [mm] H(x_H\ [/mm] | \ [mm] y_H=f(x_H)) [/mm] $ tatsächlich
einen Hochpunkt hat.
LG Al-Chw.
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