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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Begleitmatrix
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Begleitmatrix: char.Polynom=Minimalpolynom
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:53 Di 24.04.2007
Autor: IrisL.

Aufgabe
Aufgabe 9.
Es sei B = [mm] B_{g} \in M_{n}(\IK) [/mm] die Begleitmatrix eines normierten Polynoms g(X) = [mm] X^{n} [/mm] + [mm] a_{n-1}X^{n-1} [/mm] + · · · + [mm] a_{1}X [/mm] + [mm] a_{0} \in \IK[X]. [/mm] Bekanntlich gilt dann g(X) = [mm] \chi [/mm] (X). Zeigen Sie, dass g(X) = µB(X) gilt, d.h. g(X) ist auch das Minimalpolynom von B.

Huhu!

Also hier kann ich ja schon davon ausgehen, daß g(x) das charakteristische Polynom von B ist.
Wie komme ich jetzt am besten zum Minimalpolynom? Ich hatte bis jetzt über Induktion nachgedacht, was mir nicht wirklich weitergeholfen hat. Außerdem hatte ich überlegt, ob man irgendwie zeigen kann, daß das charakteristische Polynom genau n Nullstellen hat, aber das funktioniert doch nur in [mm] \IC, [/mm] oder?


Gruß
Iris

        
Bezug
Begleitmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Di 24.04.2007
Autor: angela.h.b.


> Aufgabe 9.
>  Es sei B = [mm]B_{g} \in M_{n}(\IK)[/mm] die Begleitmatrix eines
> normierten Polynoms g(X) = [mm]X^{n}[/mm] + [mm]a_{n-1}X^{n-1}[/mm] + · · · +
> [mm]a_{1}X[/mm] + [mm]a_{0} \in \IK[X].[/mm] Bekanntlich gilt dann g(X) =
> [mm]\chi[/mm] (X). Zeigen Sie, dass g(X) = µB(X) gilt, d.h. g(X) ist
> auch das Minimalpolynom von B.
>  Huhu!
>  
> Also hier kann ich ja schon davon ausgehen, daß g(x) das
> charakteristische Polynom von B ist.
>  Wie komme ich jetzt am besten zum Minimalpolynom? Ich
> hatte bis jetzt über Induktion nachgedacht, was mir nicht
> wirklich weitergeholfen hat. Außerdem hatte ich überlegt,
> ob man irgendwie zeigen kann, daß das charakteristische
> Polynom genau n Nullstellen hat, aber das funktioniert doch
> nur in [mm]\IC,[/mm] oder?

Hallo,

meine - nicht selbst durchgeführte - Idee hierzu:

Das Minimalpolynom m von B ist ja das normierte Polynom kleinsten Grades mit m(B)=0  (Nullmatrix).

Du könntest nun [mm] E=B^0, [/mm] B, [mm] B^2, B^3 [/mm] ... berechnen und gucken, ob es möglich ist, daß Du eine nichttriviale Linearkombination mit

[mm] B^k+a_{k-1}B^{k-1}+a_{k-2}B^{k-2}+...+a_1B+a_0E [/mm]

findest.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Begleitmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:37 Di 24.04.2007
Autor: IrisL.

Huhu!

> Das Minimalpolynom m von B ist ja das normierte Polynom
> kleinsten Grades mit m(B)=0  (Nullmatrix).
>  
> Du könntest nun [mm]E=B^0,[/mm] B, [mm]B^2, B^3[/mm] ... berechnen >und

Was meinst Du damit?

Vielen Dank und Gruß
Iris

Bezug
                        
Bezug
Begleitmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:43 Di 24.04.2007
Autor: angela.h.b.

>
> > Das Minimalpolynom m von B ist ja das normierte Polynom
> > kleinsten Grades mit m(B)=0  (Nullmatrix).
>  >  
> > Du könntest nun [mm]E=B^0,[/mm] B, [mm]B^2, B^3[/mm] ... berechnen >und
>
> Was meinst Du damit?

Hallo,

die Potenzen der Dir vorliegenden Begleitmatrix B von g.

Das ist doch die Matrix, um die es geht.

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
Begleitmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:25 Di 24.04.2007
Autor: IrisL.

Huhu!

> die Potenzen der Dir vorliegenden Begleitmatrix B von g.
>  
> Das ist doch die Matrix, um die es geht.
>  

Richtig. Aber ist nicht nur [mm] B^{0}=E? [/mm]
Schon [mm] B^{1} [/mm] kann doch gar nicht mehr E werden, da in der ersten Spalte der ersten Zeile eine 0 steht.
Sorry, aber das hat mich jetzt noch mehr verwirrt. ;)

Gruß
Iris


Bezug
                                        
Bezug
Begleitmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:43 Di 24.04.2007
Autor: angela.h.b.

Hallo,

ich meine:

ich würde die Potenzen [mm] B^2, B^3,... [/mm] der Matrix B berechnen.
(Für [mm] B^1=B [/mm] braucht man nichts zu rechnen, und für [mm] B^0=E [/mm] auch nicht.)

Dann nachschauen, wann E, B, [mm] B^2,..., B^k [/mm] erstmalig linear abhängig sind.

Die entsprechende Linearkombination liefert Dir das Minimalpolynom.
Das Ziel wäre, daß Du zeigst, daß für k<n die [mm] B^i [/mm] nicht linear abhängig sind.

Ob Du auf diesem Weg halbwegs bequem zum Ziel kommst, weiß ich nicht.

Gruß v. Angela

Bezug
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