Begrenzte Fläche für Körper < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Do 23.11.2006 | | Autor: | Toyah21 |
| Aufgabe | Gegeben sind die Graphen der Funktionen g und , diese begrenzen eine Fläche , die um die x-Achse rotiert.
Mache eine Skizze der beiden Funktionen und berechne das Volumen des Drehkörpers
[mm] -->f(x)=3x^2-x^3
[/mm]
[mm] -->g(x)=x^2 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi!
Das ist der Teil meiner Hausaufgaben, bei dem ich leider kläglich gescheiter bin..
Meine Ideen waren erstmal die Nullstellen zu berechnen:
also
[mm] 3x^2-x^3=x^2
[/mm]
[mm] 2x^2-x^3=0
[/mm]
[mm] x(2x-x^2)=0
[/mm]
x1=0
Pq-Formel:
2/2 -+ [mm] \wurzel{(2/2)^2+0}
[/mm]
x2=1
also
A= [mm] \pi *\integral_{0}^{1}{(f(x)^2-(g(x)^2)dx}
[/mm]
= 4,334-2.312= 2,022
...oje,, denke das wird fehlerhaft sein..aber das waren zumindest meine Überlegungen...
Bitte helft mir!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Do 23.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben sind die Graphen der Funktionen g und , diese
> begrenzen eine Fläche , die um die x-Achse rotiert.
> Mache eine Skizze der beiden Funktionen und berechne das
> Volumen des Drehkörpers
>
> [mm]-->f(x)=3x^2-x^3[/mm]
> [mm]-->g(x)=x^2[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hi!
> Das ist der Teil meiner Hausaufgaben, bei dem ich leider
> kläglich gescheiter bin..
> Meine Ideen waren erstmal die Nullstellen zu berechnen:
> also
>
Soweit in Ordnung
> [mm]3x^2-x^3=x^2[/mm]
> [mm]2x^2-x^3=0[/mm]
> [mm]x(2x-x^2)=0[/mm]
> x1=0
>
> Pq-Formel:
> 2/2 -+ [mm]\wurzel{(2/2)^2+0}[/mm]
>
> x2=1
Mach es dir einfacher:
3x²-x³=x²
[mm] \gdw [/mm] 2x²-x³=0
[mm] \gdw(2-x)x²=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{0_{1;2}}=0, x_{0_{3}}=2
[/mm]
>
> also
> A= [mm]\pi *\integral_{0}^{1}{(f(x)^2-(g(x)^2)dx}[/mm]
> =
> 4,334-2.312= 2,022
Nicht ganz:
Es gilt: [mm] V=\pi\integral_{0}^{2}(f(x)-g(x))²dx
[/mm]
[mm] =\pi\integral_{0}^{2}(2x²-x³)²dx
[/mm]
[mm] =\pi\integral_{0}^{2}(4x^{4}-4x^{5}+x^{6})dx
[/mm]
Kommst du jetzt weiter?
Marius
EDIT: Ach ja: Das Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Do 23.11.2006 | | Autor: | Toyah21 |
Vielen Dank für deine Hilfe..!
Aber ich komm nich recht weiter, da ich immer dachte:
[mm] \pi*\integral_{a}^{b}{f(x))^2-((g(x)^2) dx}
[/mm]
und dann nicht mit der Binomischen Formel...unsre Lehrerin muss sich das irgendwie dann vertan haben....
$ [mm] =\pi\integral_{0}^{2}(4x^{4}-4x^{5}+x^{6})dx [/mm] $
Nach deiner rechnung weiter gerechnet würde dann ja:
[mm] [\pi*4/5x^5-2/3x^6+1/7x^7] [/mm] sein..
also als zwischen ergebnisse= 6- 3 3/32 = 2 29/32
Wäre sehr lieb, wenn du mir das noch erklären/ mich richtigstellen könntest!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Do 23.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Jetzt wo du es sagst, die Lösung deiner Lehrerin ist korrekt.
Es gilt [mm] V=\pi\integral(f(x)²)-\pi\integral(g(x)²)=\pi\integral(f(x)²)-(g(x)²)
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Toyah21 |
Ok, danke dann müsste das dann:
[mm] $\integral_{0}^{2}{(3x^2-x^3)^2-(x^2)^2 }$
[/mm]
$= [mm] 9x^4+(6x^2*x^3)-x^6-(x^4)$
[/mm]
mhm..is das richtig? dann natürlich die aufleitung bilden und die integralgrenzen einsetzen...
Bitte helft mir..
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Hallo Toyah21,
> Ok, danke dann müsste das dann:
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{(3x^2-x^3)^2-(x^2)^2 }[/mm]
>
> [mm]= 9x^4+(6x^2*x^3)-x^6-(x^4)[/mm]
naja, fast.. 
[mm]= \integral_{0}^{2}{9x^4+(6x^2*x^3)-x^6-(x^4)\ dx}[/mm]
[edit: hier hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen. informix]
[mm]= \integral_{0}^{2}{9x^4\green{-}(2*3x^2*x^3)\green{+}x^6-(x^4)\ dx}[/mm]
als nächstes zusammenfassen und dann ... s.u.
[mm]= \integral_{0}^{2}{9x^4-6x^5+x^6-x^4\ dx}[/mm]
[mm]= \integral_{0}^{2}{(8x^4-6x^5+x^6)\ dx}[/mm]
>
> mhm..is das richtig? dann natürlich die aufleitung Stammfunktion bilden
> und die integralgrenzen einsetzen...
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Man "integriert" oder "bildet die Stammfunktion" - der Rest ist ziemlich unmathematisch.
>
> Bitte helft mir..
>
gerne
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 So 26.11.2006 | | Autor: | Toyah21 |
DANKE für die Hilfe!
Also würde dass dann weitergerechnet, so aussehen:?
$ = [mm] \integral_{0}^{2}{9x^4+(6x^2\cdot{}x^3)-x^6-(x^4)} [/mm] $
wobei mich da irgendwie verwirrt, dass es bei [mm] (6x^2*x^3) [/mm] nicht [mm] (6x^2*(-x^3) [/mm] ist,,,kann mir das vllt. noch jemand erklären?
sonst würde das jetzt lauten
$ = [mm] \integral_{0}^{2}{9x^4+6x^5-x^6-(x^4)} [/mm] $
[mm] =8x^4+6x^5-x^6
[/mm]
F(x)= [mm] 8/5x^5+1x^6-1/7x^7
[/mm]
[mm] =[8/5x^5+1x^6-1/7x^7](0;2)
[/mm]
= 0 - 96 32/35 = -96 32/35
naja, dass hätte man wohl mit Betragsstrichen rechnen müssen, oder da ist vorher schon ein Fehler...
Wäre super wenn ihr mir nochmal helfen könntet..
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 So 26.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal:
Ich würde erstmal zusammenfassen
[mm] \integral_{0}^{2}{(3x^2-x^3)^2-(x^2)^2 }
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{2}{(9x^{4}-6x^{5}+x^{6}-(x^{4}}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{2}{(8x^{4}-6x^{5}+x^{6}}
[/mm]
Und jetzt die Stammfunktion bilden, usw...
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 So 26.11.2006 | | Autor: | Toyah21 |
aber habe ich das nicht gemacht=?....
Is da denn ein rechenfehler drin oder is das ergebnis so richtig?..
Kann mir das noch jemand erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 So 26.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Fast, die Stammfunktion ist korrekt. Aber es gilt:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=F(\red{b})-F(\green{a})
[/mm]
Also hier:
[mm] A=\bruch{8}{5}*2^{5}-\bruch{6}{6}*2^{6}+\bruch{1}{7}*2^{7}-\green{0}\approx5,48
[/mm]
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