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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo. Habe von Freunen gehöt, das dass Forum hier ganz gut sein soll, deshalb versuche ich auch mal mein Glück, eine gute Antwort zu bekommen. Ich bin noch ein Mathe-Ersti und habe deshalb noch bisschen Probleme mit folgenden Begriffen:
1. Was ist eine Basis genau?
Reicht es zu wissen, dass Linear Unabhänige Vektoren eine Basis bilden oder reicht das alleine nicht?
Und woran erkennt man eine Basis, oder geht das auf anhieb nicht?
Woran erkennt man z.B. die Basis eines 4dimensionlen K-VR mit der Abbildung von V nach W?
2. Was ist eine Dimension genau?
Ich weiß, dass die Anzahl der l. u. Vektoren, die Basis sind. Aber reicht es, das alleine zu wissen? Kann man irgendwie direkt erkennen, wieviel Dimensionen eine Abbildung hat, z.B. von R hoch 4 nach R hoch 3. Ist dann 3 die Basis?
3. Hier wirds schon bisschen problematischer. Und zwar habe ich noch Probleme mit Kern und Bild. Die Definitionen sind mir jeweils bekannt, aber was heißt das genau, werde aus den Definitionen nicht so schlau.
Kann man auch hier Kern und Bild einer Abbildung sofort erkenne?
4. Und zuguterletzt. Was ist eine Dimension vom Kern bzw. von Bild??
Ich weiß, das ist jetzt eine geballte Ladung mit fragen, würde mich aber sehr, sehr freuen, wenn mir jemanden helfen könnte, bisschen Licht in mein Gehirn zu bringen, um endlich was mit den Begriffen anfangen zu können. Es ist nicht so, das ich die definitionen nicht habe, aber irgendwie kann ich mit den noch nicht soviel anfangen.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Fr 23.11.2007 | | Autor: | Kroni |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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> Hallo. Habe von Freunen gehöt, das dass Forum hier ganz gut
> sein soll, deshalb versuche ich auch mal mein Glück, eine
> gute Antwort zu bekommen. Ich bin noch ein Mathe-Ersti und
> habe deshalb noch bisschen Probleme mit folgenden
> Begriffen:
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") =)
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> 1. Was ist eine Basis genau?
> Reicht es zu wissen, dass Linear Unabhänige Vektoren eine
> Basis bilden oder reicht das alleine nicht?
> Und woran erkennt man eine Basis, oder geht das auf anhieb
> nicht?
> Woran erkennt man z.B. die Basis eines 4dimensionlen K-VR
> mit der Abbildung von V nach W?
Nun, eine Basis eines Vektorraums sind ja die maximal linear unabhängigen Vektoren, die den Raum aufspannen.
Du kannst ja viele Vektoren nehmen, die dann den Raum aufspannen, also die Erzeuger des Raumes. Aber es kann ja durchaus sein, dass du dann die Vektoren, die den Raum aufspannen, linear abhängig sind. D.h. du hast eigentlich ein paar Vektoren zu viel benutzt. D.h. du kannst dann einige Vektoren durch Linearkombinationen der anderen Vektoren ausdrücken, und somit aus dem Spann "werfen". Das wiederholst du dann so oft, bis du nur noch linear unabhängige Vektoren hast. Die maximal linear unabhängigen Vektoren, die dann den Raum aufspannen, nennt man die Basis.
Die Anzahl dieser maximal unabhänigen Vektoren (was beduetet, dass wenn du noch einen einzigen Vektor, egal welcher, der im Raum enthalten ist, in den Spann mit dazupackst, sofort linear abhängige Vektoren hast), ist dann die Dimension.
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> 2. Was ist eine Dimension genau?
> Ich weiß, dass die Anzahl der l. u. Vektoren, die Basis
> sind. Aber reicht es, das alleine zu wissen? Kann man
> irgendwie direkt erkennen, wieviel Dimensionen eine
> Abbildung hat, z.B. von R hoch 4 nach R hoch 3. Ist dann 3
> die Basis?
Ja, die Dimension des [mm] $\IR^n$ [/mm] ist genau n.
Wenn du nur irgendeinen linearen Unterraum hast, dann kannst du z.B. die Basis des Spaltenraumes bilden, indem du dann nur die Vektoren deines Spalentraumes zur Basis mitnimmst, die untereinander maximal linear unabhängig sind.
Die Dimension des Bildes von deiner Abbildungsfunktion ist dann genau der Rang von der dazugehörigen Matrix A, bzw. die Dimension des Spaltenraums von A.
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> 3. Hier wirds schon bisschen problematischer. Und zwar habe
> ich noch Probleme mit Kern und Bild. Die Definitionen sind
> mir jeweils bekannt, aber was heißt das genau, werde aus
> den Definitionen nicht so schlau.
> Kann man auch hier Kern und Bild einer Abbildung sofort
> erkenne?
Nun ja, zu jeder linearen Abbildung gehört ja genau eine Matrix A. Nun ist der Kern dieser Matrix alle Vektoren x, die die Gleichung Ax=0 lösen. Das Bild der lineare Abbildung sind genau alle Vektoren, die du herausbekommst, wenn du sämtliche x aus deiner Ursprungsmenge einsetzt, und dann guckst, welche b herauskommen können. Das wiederum sind ja genau alle Linearkombinationen der Spalten von A, also genau der Spaltenraum von A.
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> 4. Und zuguterletzt. Was ist eine Dimension vom Kern bzw.
> von Bild??
Wenn du die Dimension des Kerns haben willst, musst du also den Nullraum der Matrix A, der zur linearen Abbildung gehört, nehmen, und dann gucken, welche x die Gleicung Ax=0 lösen. Dann bekommst du meist irgendwelche Relationen heraus. Dann musst du die Basis davon bilden, und gucken, wie viele Vektoren da drin sind. Das ist dann die Dimension des Nullraums von A, bzw. die Dimension des Kerns.
Vom Bild musst du eben gucken, welche linear unabhängigen Vektoren den Spaltenraum von A bilden, also musst du einfach alle Spalten deiner Matrix A hernehmen, und so lange Vektoren rauswerfen, bis du nur noch linear unabhänige Vektoren da hast.
Das kanst du machen, indem du die Matrix A in die Zeilenstufenform bringst, und dann sind genau die Spalten von A, die in der ZSF Pivot-Spalten sind, deine linear unabhängigen Vektoren, die dann die Basis bilden.
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> Ich weiß, das ist jetzt eine geballte Ladung mit fragen,
> würde mich aber sehr, sehr freuen, wenn mir jemanden helfen
> könnte, bisschen Licht in mein Gehirn zu bringen, um
> endlich was mit den Begriffen anfangen zu können. Es ist
> nicht so, das ich die definitionen nicht habe, aber
> irgendwie kann ich mit den noch nicht soviel anfangen.
>
> Gruß
Ich würde mich freuen, wenn noch jemand über meine Antwort dürbergucken würde, weil wir den Stoff auch erst gerade in der Linearen Algebra behandeln, und ich mir nicht zu 100% siche rbin, ob meine Antworten stimmen.
LG
Kroni
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Hi Kroni, danke für deine schnelle antwort.
habe da jetzt doch noch paar fragen. und zwar zu 1. gut das du das mit dem Erzeuger angesprochen hat. Denn was genau ist ein Erzeugendensystem??
und zu 2 nochmal. wenn ich von R hoch 4 auf R hoch 3 abbilde, ist jetz 3 meine dimension oder 4?
Das mit dem Kern und Bild habe ich leider noch nicht ganz verstehen können, denn hast du eine matrix mit reingenommen, weiß nicht, was das genau bedeutet, denn wir hatten das bisher nur mit funktionen und so.
Aber beim Kern ist es doch so, dass man vom urbild der funktion auf die Null abbildet oder? und ergibt denn alles auf null abgebildet nicht null???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Fr 23.11.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hi Kroni, danke für deine schnelle antwort.
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> habe da jetzt doch noch paar fragen. und zwar zu 1. gut das
> du das mit dem Erzeuger angesprochen hat. Denn was genau
> ist ein Erzeugendensystem??
Hi,
ein Erzeugendersystem ist eine "Ansammlung" von Vektoren, die deinen Raum aufspannen. In dem Erzeugendersystem können ja noch linear abhängige Vektoren drin sein. Wenn ich die alle rausstreiche, so bekomme ich die Basis meines Raums.
>
> und zu 2 nochmal. wenn ich von R hoch 4 auf R hoch 3
> abbilde, ist jetz 3 meine dimension oder 4?
Das kommt darauf an, wovon du die Dimension bestimmen willst....
VOn welcher Dimension redest du denn nun?
>
> Das mit dem Kern und Bild habe ich leider noch nicht ganz
> verstehen können, denn hast du eine matrix mit
> reingenommen, weiß nicht, was das genau bedeutet, denn wir
> hatten das bisher nur mit funktionen und so.
Naja, jede lineare Abbildung ist ja eigentlich genau eine Matrix-Vektor Multiplikation....zu jeder linearen Funktion existiert dann genau eine, eindeutige Matrix A, die dann zu deiner lineare Abbildung gehört.
Nun, erkläre ich das mal anders: Der Kern deiner Funktion ist dann genau die Menge von Vektoren, die als Bild die 0 haben. Also sozusagen alle Vektoren, die, wenn ich sie in die Funktion "stecke", auf die 0 abbilden.
>
> Aber beim Kern ist es doch so, dass man vom urbild der
> funktion auf die Null abbildet oder? und ergibt denn alles
> auf null abgebildet nicht null???
Was genau meinst du damit? Ja, der Kern sind alle x, die bei f(x)=0 ergeben (wobei x hier Vektoren sind, und 0 der Nullvektor).
Ich hoffe, ich konnte dir noch ein wenig weiter helfen.
LG
Kroni
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hi.
bei 2. meinte ich z.B.: sei f: eine abbildung von R hoch 4 nach R hoch 3. bestimmten Sie die dimension von f.
dann wäre also die dimension 3? da ich ja von 4 auf 3 abbilde, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Fr 23.11.2007 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> hi.
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> bei 2. meinte ich z.B.: sei f: eine abbildung von R hoch 4
> nach R hoch 3. bestimmten Sie die dimension von f.
Also, wenn dieser Satz so in einer Aufgabe vorkommt würde ich protestieren, denn so ergibt das keinen Sinn: Abbildungen haben keine Dimension, sondern Vektorräume haben eine.
Wenn man in Zusammenhang mit linearen Abbildungen Dimensionsbetrachtungen anstellt, dann nur in bezug auf damit in Verbindung stehende Vektorräume. Sinn machen also folgende Fragen:
1.) Was ist die Dimension des Ausgangsraums? (->im Beispiel 4)
2.) Was ist die Dimension des Zielraums? (->im Beispiel 3)
3.) Was ist die Dimension des Bilderaumes unter f ?(->kommt auf f an)
4.) Was ist die Dimension des Kerns von f? (->kommt auf f an)
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> dann wäre also die dimension 3? da ich ja von 4 auf 3
> abbilde, richtig?
Nein, weil ja wie oben gesagt die Frage so keinen Sinn macht.
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Fr 23.11.2007 | | Autor: | jaruleking |
ja ok, dann habe ich es jetzt doch verstanden. das mit der Abbildung hatte ich mir ausgedacht, nicht unser prof., aber gemeint war schon ein VR.
jedoch trotzdem danke an euch.
gruß
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