Begründung Keine ra..Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Disap |
Folgende Aufgabe gibt mir zu denken:
Begründen Sie, dass es für die folgende Bedinung keine ganzrationale Funktion f gibt:
Grad von f gleich 3, Extremwerte für x=0 und x=3, Wendestelle für x=1.
Was ich aus der Aufgabe erkenne, das man vermutlich folgende allgemeine Funktionsgleichung hat:
a [mm] x^{3}+b x^{2}+cx+d
[/mm]
und man folgende Punkte hat (0|?), (3|?) und (1|?)
Folgende Fragen von mir:
1.0) Gibt es hier eine theoretische Antwort?
1.1)Ich habe mir nämlich gedacht, dass der x-wert des Wendepunkts zwischen den beiden Extrempunken liegt, also bei 1,5 (richtig oder falsch?)
2.0) Wie kann man das nun rechnerisch Beweisen, dass es für die Bedingung keine ganzrationale Funktion gibt?
Mein Ansatz wäre hier, dass man diese Punkte einfach in die Funktion :
f(x)=a [mm] x^{3}+b x^{2}+cx+d
[/mm]
einsetzt
wobei man dann für y irgendeine unbekannte Variable einsetzt.
Beispiel:
v = a [mm] 0^{3}+ [/mm] b [mm] 0^{2}+c [/mm] 0+d
usw.
Ende Ansatz :)
Grüße Disap
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Du mußt die 1te und 2te Ableitung bilden und es muß gelten
Extremum $f'(0) = 0 $
UND Extremum $f'(3) = 0 $
UND Wendestelle $ f''(1) = 0 $
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:43 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Disap |
Und was nehme ich dann als 4en Punkt?
und woran kann ich dann sehen, dass es nicht aufgeht? Quasi, dass die Behauptung nicht stimmt?
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f'(3) = 0 und f"(1) = 0 widersprechen einander
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Disap |
WAs nehme ich denn nun als 4.en Punkt?
Und vor allem, wodran erkenne ich das, dass sie sich widersprechen?
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$ f = [mm] a*x^3 [/mm] + [mm] b*x^2 [/mm] + c*x + d $
$ [mm] f'=3a*x^2 [/mm] + 2b*x + c $
$ f'' = 6a*x + 2b $
$ f'(0) = 0 = c $
$ f'(3) = 0 = 27a + 6b + 0 $
$f''(1) = 0 = 6a + 2b $
multipliziere die letzte Gleichung mit 3 und vergleiche mit der vorletzten.
Möglich ist das nur für a = 0
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Disap |
Also darf man hier ruhig mit 3 Punkten rechnen? Denn um die Funktionsgleichung zu ermitteln, braucht man ja 4 Punkte.
Liegt nun der Wendepunkt in der Mitte zweier Extremstellen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 So 19.09.2004 | | Autor: | Emily |
> Also darf man hier ruhig mit 3 Punkten rechnen? Denn um die
> Funktionsgleichung zu ermitteln, braucht man ja 4 Punkte.
>
> Liegt nun der Wendepunkt in der Mitte zweier
> Extremstellen?
>
Hallo,
bei ganzrationalen Funktionen 3. Grades, die Extrema haben, liegt der Wendepunkt stets in der Mitte zweier
Extrema.
Liebe Grüße
Emily
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aufgrund des Widerspruchs würde ein 4ter Punkt / eine 4te Bedingung auch nicht helfen.
Ein Wendepunkt KANN zwischen 2 Etrema liegen ( z. B. Winkelfuntionen ), MUSS ABER NICHT ( z.B. $ [mm] x^3 [/mm] )
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