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| Aufgabe | Wir betrachten h : R -> R mit
h(x) [mm] =x^{-2} [/mm] für x > 0; und [mm] -x^2 [/mm] für x [mm] \le [/mm] 0:
Welche der folgenden Behauptungen sind richtig, welche falsch? Beweisen Sie Ihre Antworten.
(i) h ist surjektiv.
(ii) h ist monoton.
(iii) h ist invertierbar |
So, ich habe mir bei i) überlegt, dass h surejktiv ist
Beweis: Für x>0 [mm] b=x^{-2} [/mm] und daraus folgt: [mm] x1=\bruch{1}{\wurzel{b}} [/mm] und [mm] x2=\bruch{1}{-\wurzel{b}}, [/mm] aber x2 ist nicht definiert für diesen Bereich,d. h. wegen Bedingung x>0 und daraus folgt, dass es für jedes y genau ein x gibt.
Für [mm] x\le0 [/mm] wähle [mm] -b=-x^2 [/mm] <=> [mm] x1=\wurzel{b} [/mm] und [mm] x2=-\wurzel{b} [/mm] und x1 gehört nicht dazu wegen der Bedingung [mm] x\le0
[/mm]
Zu iii) habe ich mir überlegt, dass ich Injektivität zeige, weil invertierbarkeit Injektivität voraussetzt und die Funktion ist injektiv; man brauch doch nur für x a und b einsetzen und dann sieht man, dass a=b herauskommt und somit ist h(x) invertierbar
Zu ii) Ich denke, h(x) ist monoton, aber wie ich das beweise, weiß ich noch nicht. Wenn ich x>0 betrachte, dann ist h monoton fallend, d. h. aus x1<x2 folgt h(x1)<h(x2).
Soll ich jetzt einfach x1 uns x2 einsetzen?
Das sind meine Überlegungen.
ich bitte um Hilfe, Korrektur und Verbesserung
Vielen Dank
TheBozz-mismo
PS:Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Mi 03.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
formal musst du das genauer aufschreiben, ist aber richtig. h ist monoton steigend, nicht fallend, denn für x>0 gilt x1<x2 folgt [mm] x1^2
für x<0 gilt x1<x2 folgt -x1>-x2>0 [mm] x1^2>x2^2 -x1^2<-x2^2
[/mm]
Gruss leduart
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Vielen Dank schonmal.
Ist denn der Beweis bzw. die Argmunetation für injektiv bzw. surjektiv so richtig?
Du sagst, h ist steigend, aber für x>0 fällt die Funktion doch, oder?
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Mi 03.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Entschldige, ich hab die - im Exponenten übersehrn, für x>0 ist sie also fallend, also insgesamt nicht monoton! da sie für x<0 steigend ist.
bei surjektiv würde ich besser Schreiben [mm] f^{-1}(x) [/mm] für x>0 ist [mm] +x^{-1/2} [/mm] und deshalb...
sonst alles richtig.
Gruss leduart
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Vielen lieben Dank für deine Hilfe!
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