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Beispiel finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:54 Mi 11.12.2013
Autor: Kasperkopf

Aufgabe 1
Geben Sie ein Beispiel einer Borel-messbaren Funktion f: [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] sodass [mm] f|_{[0,1]} [/mm] nicht Riemann-integrierbar ist.

Aufgabe 2
Sei für eine (nicht notwendigerweise Lebesgue-messbare) Funktion f: [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{\overline{R}}_{ \ge 0} [/mm]
[mm] I_{\*}(f):=sup{ \sum_{j=1}^N a_j \mu(A_j) : A_j \in \mathcal{L} (\mathbb{R}) und 0 \le \sum_{j=1}^N a_j \chi_{A_j} }, [/mm]
wo [mm] \mathcal{L} (\mathbb{R}) [/mm] die Lebesgue-Algebra und [mm] \mu [/mm] das Lebesgue-Maß bezeichnet.
a) Geben Sie ein Beispiel einer Funktion f: [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{\overline{R}}_{ \ge 0}, [/mm] so dass [mm] I_{\*}(f)=0 [/mm] gilt und {x [mm] \in [/mm] X : f(x) [mm] \not= [/mm] 0} keine Lebesgue-Nullmenge ist.
b) Geben Sie ein Beispiel für Funktionen f,g: [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{\overline{R}}_{ \ge 0} [/mm] mit [mm] I_{\*}(f+g) \not= I_{\*}(f)+I_{\*}(g). [/mm]

Abend,

fallen da vielleicht jemandem Beispiele ein oder hat jemand Tipps wie ich Beispiele finde? Ich komme da irgendwie nicht drauf.

Danke

        
Bezug
Beispiel finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:11 Do 12.12.2013
Autor: fred97


> Geben Sie ein Beispiel einer Borel-messbaren Funktion f:
> [mm]\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},[/mm] sodass [mm]f|_{[0,1]}[/mm] nicht
> Riemann-integrierbar ist.





Denk mal an die charakteristische Funktion von [mm] \IQ. [/mm]

>  Sei für eine (nicht notwendigerweise Lebesgue-messbare)
> Funktion f: [mm]\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{\overline{R}}_{ \ge 0}[/mm]
>  
> [mm]I_{\*}(f):=sup{ \sum_{j=1}^N a_j \mu(A_j) : A_j \in \mathcal{L} (\mathbb{R}) und 0 \le \sum_{j=1}^N a_j \chi_{A_j} },[/mm]




Da srimmt was nicht. Rechts kommt kein f vor !!

FRED

>  
> wo [mm]\mathcal{L} (\mathbb{R})[/mm] die Lebesgue-Algebra und [mm]\mu[/mm]
> das Lebesgue-Maß bezeichnet.
>  a) Geben Sie ein Beispiel einer Funktion f: [mm]\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{\overline{R}}_{ \ge 0},[/mm]
> so dass [mm]I_{\*}(f)=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

gilt und {x [mm]\in[/mm] X : f(x) [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

0} keine

> Lebesgue-Nullmenge ist.
>  b) Geben Sie ein Beispiel für Funktionen f,g: [mm]\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{\overline{R}}_{ \ge 0}[/mm]
> mit [mm]I_{\*}(f+g) \not= I_{\*}(f)+I_{\*}(g).[/mm]
>  Abend,
>  
> fallen da vielleicht jemandem Beispiele ein oder hat jemand
> Tipps wie ich Beispiele finde? Ich komme da irgendwie nicht
> drauf.
>  
> Danke


Bezug
                
Bezug
Beispiel finden: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:38 Do 12.12.2013
Autor: Kasperkopf

Hallo Fred,

danke schon mal für deine Antwort.


> > [mm]I_{\*}(f):=sup{ \sum_{j=1}^N a_j \mu(A_j) : A_j \in \mathcal{L} (\mathbb{R}) und 0 \le \sum_{j=1}^N a_j \chi_{A_j} },[/mm]
>  
>
> Da srimmt was nicht. Rechts kommt kein f vor !!
>  

Ooh, hast recht, da habe ich was vergessen.
Richtig heißt es:

[mm] I_{\*}(f):=sup\{ \sum_{j=1}^N a_j \mu(A_j) : A_j \in \mathcal{L} (\mathbb{R})\ und\ 0 \le \sum_{j=1}^N a_j \chi_{A_j} \le f \} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Beispiel finden: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Di 17.12.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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