Beispielaufgabe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | y' = [mm] -\bruch{y}{x} [/mm] mit y(1) = c>0, d.h. [mm] x_0 [/mm] = 1 und [mm] y_0 [/mm] = c |
Ich hab hier ein Problem: Die oben angeführte Aufgabe ist ein Beispiel aus unserer Vorlesung, das anhand eines vorangegangenen Satzes gelöst wird. In der Vorlesung steht:
f(x) = [mm] -\bruch{1}{x}, [/mm] g(y) = y [mm] \Rightarrow \bruch{1}{g(y)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{y}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] F(x) = - ln x, G(y) = ln y
[mm] \Rightarrow [/mm] ln y - ln c = -ln x + [mm] \underbrace{ln 1}_{=0}
[/mm]
[mm] \gdw ln(\bruch{y}{c}) [/mm] = [mm] ln(\bruch{1}{x})
[/mm]
[mm] \underbrace{\gdw}_{ln bijektiv} \bruch{y}{c} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} \underbrace{\Rightarrow}_{y = y(x)} [/mm] y(x) = [mm] \bruch{c}{x}
[/mm]
Diese Rechnung kann ich anhand des vorangegangenen Satzes auch nachvollziehen, doch ich habe nur die Aufgabe betrachtet und habe alleine versucht das Ergebnis zu finden. Ich bin dabei vorgegangen wie bei anderen Aufgaben, erhalte jedoch ein anderes Ergebnis als in der Vorlesung:
y' = [mm] -\bruch{y}{x} \gdw \bruch{y'}{y} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{x} \gdw [/mm] ln y = -ln x = [mm] ln\bruch{1}{x} \gdw [/mm] y = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + c
Was ist hier schiefgelaufen?
LG fagottator
|
|
| |
|
Hallo fagottator,
> y' = [mm]-\bruch{y}{x}[/mm] mit y(1) = c>0, d.h. [mm]x_0[/mm] = 1 und [mm]y_0[/mm] =
> c
> Ich hab hier ein Problem: Die oben angeführte Aufgabe ist
> ein Beispiel aus unserer Vorlesung, das anhand eines
> vorangegangenen Satzes gelöst wird. In der Vorlesung
> steht:
>
> f(x) = [mm]-\bruch{1}{x},[/mm] g(y) = y [mm]\Rightarrow \bruch{1}{g(y)}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] F(x) = - ln x, G(y) = ln y
> [mm]\Rightarrow[/mm] ln y - ln c = -ln x + [mm]\underbrace{ln 1}_{=0}[/mm]
>
> [mm]\gdw ln(\bruch{y}{c})[/mm] = [mm]ln(\bruch{1}{x})[/mm]
> [mm]\underbrace{\gdw}_{ln bijektiv} \bruch{y}{c}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{x} \underbrace{\Rightarrow}_{y = y(x)}[/mm] y(x) =
> [mm]\bruch{c}{x}[/mm]
>
> Diese Rechnung kann ich anhand des vorangegangenen Satzes
> auch nachvollziehen, doch ich habe nur die Aufgabe
> betrachtet und habe alleine versucht das Ergebnis zu
> finden. Ich bin dabei vorgegangen wie bei anderen Aufgaben,
> erhalte jedoch ein anderes Ergebnis als in der Vorlesung:
>
> y' = [mm]-\bruch{y}{x} \gdw \bruch{y'}{y}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{x} [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\gdw[/mm] ln y = -ln x = [mm]ln\bruch{1}{x} \gdw[/mm] y = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] [mm] \red{+} [/mm] c
Diese Zeile verstehe ich nicht. Hinten muss aber statt [mm] $\red{+}$ [/mm] ein [mm] $\red{\cdot{}}$ [/mm] stehen!
Wenn du oben in [mm] $\frac{\red{y'}}{y}=-\frac{1}{x}$ [/mm] das nun umschreibst in
[mm] $\frac{1}{y} [/mm] \ [mm] \red{\frac{dy}{dx}} [/mm] \ = \ [mm] -\frac{1}{x}$ [/mm] und das [mm] $\red{dx}$ [/mm] rüberholst, hast du doch
[mm] $\frac{1}{y} [/mm] \ dy \ = \ [mm] -\frac{1}{x} [/mm] \ dx$
Nun auf beiden Seiten integrieren:
[mm] $\Rightarrow \ln(|y|)=-\ln(|x|)+c$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow |y|=e^{-\ln(|x|)+c}=e^c\cdot{}e^{-\ln(|x|)}=\tilde{c}\cdot{}\frac{1}{|x|}$
[/mm]
Also [mm] $y=\hat c\cdot{}\frac{1}{x}$
[/mm]
Nun die Anfangsbedingung $y(1)=c$ einbauen, also [mm] $\blue{c}=\hat{c}\cdot{}\frac{1}{1}\blue{=\hat c}$
[/mm]
Also [mm] $y=y(x)=\frac{c}{x}$
[/mm]
>
> Was ist hier schiefgelaufen?
>
> LG fagottator
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo schachuzipus
> > y' = [mm]-\bruch{y}{x} \gdw \bruch{y'}{y} [/mm] = [mm]-\bruch{1}{x}[/mm]
>
> > [mm]\gdw[/mm] ln y = -ln x = [mm]ln\bruch{1}{x} \gdw[/mm] y = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> [mm]\red{+}[/mm] c
>
> Diese Zeile verstehe ich nicht. Hinten muss aber statt
> [mm]\red{+}[/mm] ein [mm]\red{\cdot{}}[/mm] stehen!
Klar, du hast Recht! Wenn ich von [mm] \bruch{y'}{y}[/mm] [/mm] = [mm]-\bruch{1}{x}[/mm] nach [mm]\gdw[/mm] ln y = -ln x integriere, muss ja hinten die Konstante addiert werden (Warum eigentlich nur auf der rechten Seite? Bin schon wieder total durcheinander... Sorry...)
>
> Wenn du oben in [mm]\frac{\red{y'}}{y}=-\frac{1}{x}[/mm] das nun
> umschreibst in
>
> [mm]\frac{1}{y} \ \red{\frac{dy}{dx}} \ = \ -\frac{1}{x}[/mm] und
> das [mm]\red{dx}[/mm] rüberholst, hast du doch
>
> [mm]\frac{1}{y} \ dy \ = \ -\frac{1}{x} \ dx[/mm]
>
> Nun auf beiden Seiten integrieren:
>
> [mm]\Rightarrow \ln(|y|)=-\ln(|x|)+c[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |y|=e^{-\ln(|x|)+c}=e^c\cdot{}e^{-\ln(|x|)}=\tilde{c}\cdot{}\frac{1}{|x|}[/mm]
>
> Also [mm]y=\hat c\cdot{}\frac{1}{x}[/mm]
>
> Nun die Anfangsbedingung [mm]y(1)=c[/mm] einbauen, also
> [mm]\blue{c}=\hat{c}\cdot{}\frac{1}{1}\blue{=\hat c}[/mm]
Warum muss ich denn die Anfangsbedingung einbauen? Mein Ergebnis stimmt doch jetzt mit der Vorlesung überein...
>
> Also [mm]y=y(x)=\frac{c}{x}[/mm]
>
>
> >
> > Was ist hier schiefgelaufen?
> >
> > LG fagottator
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
LG fagottator
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus
>
> > > y' = [mm]-\bruch{y}{x} \gdw \bruch{y'}{y}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{x}[/mm]
> >
> > > [mm]\gdw[/mm] ln y = -ln x = [mm]ln\bruch{1}{x} \gdw[/mm] y = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> > [mm]\red{+}[/mm] c
> >
> > Diese Zeile verstehe ich nicht. Hinten muss aber statt
> > [mm]\red{+}[/mm] ein [mm]\red{\cdot{}}[/mm] stehen!
>
> Klar, du hast Recht! Wenn ich von [mm]\bruch{y'}{y}[/mm][/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{x}[/mm] nach [mm]\gdw[/mm] ln y = -ln x integriere, muss ja
> hinten die Konstante addiert werden (Warum eigentlich nur
> auf der rechten Seite? Bin schon wieder total
> durcheinander... Sorry...)
Eigentlich nimmst du auf beiden Seiten Integrationskonstanten, sagen wir $a$ und $b$ und fasst die zu einer Konstante $c$ auf der rechten Seite zusammen...
> >
> > Wenn du oben in [mm]\frac{\red{y'}}{y}=-\frac{1}{x}[/mm] das nun
> > umschreibst in
> >
> > [mm]\frac{1}{y} \ \red{\frac{dy}{dx}} \ = \ -\frac{1}{x}[/mm] und
> > das [mm]\red{dx}[/mm] rüberholst, hast du doch
> >
> > [mm]\frac{1}{y} \ dy \ = \ -\frac{1}{x} \ dx[/mm]
> >
> > Nun auf beiden Seiten integrieren:
> >
> > [mm]\Rightarrow \ln(|y|)=-\ln(|x|)+c[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow |y|=e^{-\ln(|x|)+c}=e^c\cdot{}e^{-\ln(|x|)}=\tilde{c}\cdot{}\frac{1}{|x|}[/mm]
>
> >
> > Also [mm]y=\hat c\cdot{}\frac{1}{x}[/mm]
> >
> > Nun die Anfangsbedingung [mm]y(1)=c[/mm] einbauen, also
> > [mm]\blue{c}=\hat{c}\cdot{}\frac{1}{1}\blue{=\hat c}[/mm]
>
> Warum muss ich denn die Anfangsbedingung einbauen? Mein
> Ergebnis stimmt doch jetzt mit der Vorlesung überein...
Nein, tut es nicht, die allg. Lösung ist [mm] $y=\hat c\cdot{}\frac{1}{x}$
[/mm]
Ich habe der Integrationskonstanten und den folgenden Konstanten "schlechte" Namen gegeben, so dass du sie mit dem $c$ aus der Anfangsbed. verwechselt hast.
Besser, ich hätte sie [mm] $\lambda$ [/mm] genannt ...
Allg. Lösung [mm] $y=\lambda\cdot{}\frac{1}{x}$ [/mm] mit [mm] $\lambda\in\IR$
[/mm]
Die eind. Funktion, die zusätzlich die AB $y(1)=c$ erfüllt, ist wie oben errechnet, jene mit [mm] $\lambda=c$
[/mm]
Also [mm] $y=c\cdot{}\frac{1}{x}$
[/mm]
> >
> > Also [mm]y=y(x)=\frac{c}{x}[/mm]
> >
> >
> > >
> > > Was ist hier schiefgelaufen?
> > >
> > > LG fagottator
>
> LG fagottator
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Eigentlich nimmst du auf beiden Seiten
> Integrationskonstanten, sagen wir [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] und fasst die zu
> einer Konstante [mm]c[/mm] auf der rechten Seite zusammen...
Achso, hatte nich halt nur im ersten Moment gewundert... 
> Nein, tut es nicht, die allg. Lösung ist [mm]y=\hat c\cdot{}\frac{1}{x}[/mm]
>
> Ich habe der Integrationskonstanten und den folgenden
> Konstanten "schlechte" Namen gegeben, so dass du sie mit
> dem [mm]c[/mm] aus der Anfangsbed. verwechselt hast.
>
> Besser, ich hätte sie [mm]\lambda[/mm] genannt ...
>
> Allg. Lösung [mm]y=\lambda\cdot{}\frac{1}{x}[/mm] mit
> [mm]\lambda\in\IR[/mm]
>
> Die eind. Funktion, die zusätzlich die AB [mm]y(1)=c[/mm] erfüllt,
> ist wie oben errechnet, jene mit [mm]\lambda=c[/mm]
>
> Also [mm]y=c\cdot{}\frac{1}{x}[/mm]
>
>
> > >
> > > Also [mm]y=y(x)=\frac{c}{x}[/mm]
Alles klar! Mit [mm]y=\hat c\cdot{}\frac{1}{x}[/mm] erhalte ich ja eine LösungsMENGE, also quasi eine Funktionenschar, die sich in [mm]\hat c[/mm] unterscheiden. Und die Anfangsbedingung wird ja nur von einer einzigen Lösung erfüllt *vordenkopfschlag* Also muss ich die AB y(1) = c in die allgemeine Lösung [mm]y=\lambda\cdot{}\frac{1}{x}[/mm] einsetzen und erhalte, wie du schon schriebst, [mm]y(1)=\lambda\cdot{}\frac{1}{1}[/mm] = [mm] \lambda [/mm] und da y(1) ja auch gleich c ist, erfüllt die Gleichung [mm]y=y(x)=\frac{c}{x}[/mm] (also [mm] \lambda [/mm] = c) die AB.
LG fagottator
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 So 08.08.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Genau so ist es. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Marius
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | y' = [mm] xy^2 [/mm] , y(0) = [mm] y_0 \in \IR, [/mm] d.h. f(x) = x , g(y) = [mm] y^2 [/mm] |
Ich hab hier noch eine weitere Aufgabe:
Die Vorgehensweise in der Vorlesung ist mir grad ein wenig schleierhaft, doch wenn ich es auch auf meinen Weg hinbekäme, wäre ich ja schon zufrieden...
[mm] \bruch{y'}{y^2} [/mm] = x [mm] \gdw \bruch{1}{2}[/mm] [mm] ln(y^2) = \bruch{1}{2} x^2 + c[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]ln (y^2) = x^2 + 2c [/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]y^2 = e^{x^2 + 2c} = e^{x^2} \cdot e^{2c}[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm] y = e^x \cdot \wurzel{e^{2c}} [/mm]
Aber das löst doch nicht die DGL, oder? Was hab ich denn falsch gemacht? Was funktioniert bei meiner Methode nicht?
LG fagottator
|
|
|
| |
|
Hallo
[mm] y'=x*y^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{y^{2}}*\bruch{dy}{dx}=x
[/mm]
[mm] \bruch{1}{y^{2}}*dy=x*dx
[/mm]
jetzt sind beide Seiten der Gleichung zu integrieren
[mm] -\bruch{1}{y}=\bruch{1}{2}x^{2}+C
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
Hallo Steffi
> Hallo
>
> [mm]y'=x*y^{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{y^{2}}*\bruch{dy}{dx}=x[/mm]
Du benutzt hier eine andere Schreibweise! Ich glaub zwar, dass ich sie schon nachvollziehen kann, aber wenn du dir vllt die erste Aufgabe angucken kannst und was du schreibst in der Art wie oben darstellen kannst, wäre das Lernen deutlich einfacher, weil man sich eine Systematik merken kann.
>
> [mm]\bruch{1}{y^{2}}*dy=x*dx[/mm]
>
> jetzt sind beide Seiten der Gleichung zu integrieren
>
> [mm]-\bruch{1}{y}=\bruch{1}{2}x^{2}+C[/mm]
Und wie geht es jetzt weiter?
[mm] -\bruch{1}{y} [/mm] = [mm]\bruch {1}{2}x^2 + c [/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]y[/mm] = [mm] \bruch{1}{c} [/mm] - [mm] \bruch{2}{x^2}
[/mm]
>
> Steffi
>
LG fagottator
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:31 Mo 09.08.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Steffi
>
> > Hallo
> >
> > [mm]y'=x*y^{2}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{1}{y^{2}}*\bruch{dy}{dx}=x[/mm]
> Du benutzt hier eine andere Schreibweise! Ich glaub zwar,
> dass ich sie schon nachvollziehen kann, aber wenn du dir
> vllt die erste Aufgabe angucken kannst und was du schreibst
> in der Art wie oben darstellen kannst, wäre das Lernen
> deutlich einfacher, weil man sich eine Systematik merken
> kann.
Keine Ahnung, was du hier meinst.
>
> >
> > [mm]\bruch{1}{y^{2}}*dy=x*dx[/mm]
> >
> > jetzt sind beide Seiten der Gleichung zu integrieren
> >
> > [mm]-\bruch{1}{y}=\bruch{1}{2}x^{2}+C[/mm]
> Und wie geht es jetzt weiter?
> [mm]-\bruch{1}{y}[/mm] = [mm]\bruch {1}{2}x^2 + c[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]y[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{c}[/mm] - [mm]\bruch{2}{x^2}[/mm]
Du musst nach y auflösen, aber bitte richtig!
[mm]y = - \bruch{2}{x^2+2C} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Hallo Rainer,
> Du musst nach y auflösen, aber bitte richtig!
>
> [mm]y = - \bruch{2}{x^2+2C}[/mm]
>
> Viele Grüße
> Rainer
Du hast natürlich recht... war wohl ein wenig spät
Was mich nur wundert ist, dass alles, was wir hier (gemeinsam) errechnet haben nachvollziehbar ist und mittlerweile auch an das Ergebnis der Vorlesung erinnert, diesem aber immer noch nicht entspricht! Wie kann das sein?
Die Vorlesung sagt: [mm] \bruch{2}{\bruch{2}{y_0} - x^2}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Mo 09.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Rainer,
>
> > Du musst nach y auflösen, aber bitte richtig!
> >
> > [mm]y = - \bruch{2}{x^2+2C}[/mm]
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
> Du hast natürlich recht... war wohl ein wenig spät
> Was mich nur wundert ist, dass alles, was wir hier
> (gemeinsam) errechnet haben nachvollziehbar ist und
> mittlerweile auch an das Ergebnis der Vorlesung erinnert,
> diesem aber immer noch nicht entspricht! Wie kann das
> sein?
> Die Vorlesung sagt: [mm]\bruch{2}{\bruch{2}{y_0} - x^2}[/mm]
Es ist
[mm]y = - \bruch{2}{x^2+2C}= \bruch{2}{-x^2-2C}[/mm]
Mit [mm] y_0= [/mm] y(0) folgt: c= [mm] \bruch{-1}{y_0}. [/mm] Und das liefert:
[mm]y=\bruch{2}{\bruch{2}{y_0} - x^2}[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Mo 09.08.2010 | | Autor: | fagottator |
Danke, jetzt hab ich's auch geschnallt!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:28 Mo 09.08.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> y' = [mm]xy^2[/mm] , y(0) = [mm]y_0 \in \IR,[/mm] d.h. f(x) = x , g(y) = [mm]y^2[/mm]
> Ich hab hier noch eine weitere Aufgabe:
>
> Die Vorgehensweise in der Vorlesung ist mir grad ein wenig
> schleierhaft, doch wenn ich es auch auf meinen Weg
> hinbekäme, wäre ich ja schon zufrieden...
>
> [mm]\bruch{y'}{y^2}[/mm] = x [mm]\gdw \bruch{1}{2}[/mm] [mm]ln(y^2) = \bruch{1}{2} x^2 + c[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm]ln (y^2) = x^2 + 2c[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]y^2 = e^{x^2 + 2c} = e^{x^2} \cdot e^{2c}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm]y = e^x \cdot \wurzel{e^{2c}}[/mm]
>
> Aber das löst doch nicht die DGL, oder? Was hab ich denn
> falsch gemacht? Was funktioniert bei meiner Methode nicht?
Wenn du [mm] $\ln y^2$ [/mm] ableitest, siehst du, dass nicht [mm] $\bruch{y'}{y^2}$ [/mm] herauskommt. Also hast du falsch integriert.
Das Integral von [mm] $\bruch{y'}{y^2}$ [/mm] ist [mm] $-\bruch{1}{y}$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:07 Mo 09.08.2010 | | Autor: | fagottator |
Vielen Dank für den Tipp! Ich war durch die ganzen bisherigen Aufgaben, die ich gerechnet hab, ein wenig auf [mm] ln [/mm] eingeschossen, aber das klappt hier natürlich nicht... 
|
|
|
|
