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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Beispiele finden für Ringe
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Beispiele finden für Ringe: Rückfrage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:20 Fr 13.12.2013
Autor: derriemann

Aufgabe
Finden Sie möglichst viele nicht isomorphe Beispiele für Ringe R, die die untenstehenden Eigenschaften erfüllen. Hierbei soll R entweder ein Polynomring über [mm] \IR [/mm] oder ein Restklassenring eines Polynomringes nach einem seiner Ideale sein.

a) R kein Integritätsbereich (mind. zwei Beispiele)
b) R faktoriell, aber kein Hauptidealring (mind. ein Beispiel)
c) R euklidisch, aber kein Körper (mind. ein Beispiel)
d) R Körper (mind. zwei Beispiele)


Hallo, :-)
wollte nur fragen, ob meine Beispiele so richtig sind:

a)
[mm] \varphi_{\alpha}: \IZ[x] \rightarrow \IZ_{4}, [/mm] mit p(x) [mm] \longmapsto p(\alpha) [/mm] mod 4, für festes [mm] \alpha \in \IZ_{4} [/mm]

[mm] \Rightarrow \IZ[x]/ker \varphi_{\alpha} \cong \IZ_{4} [/mm]

Sei z.B. [mm] \alpha=1, [/mm] dann gilt

[mm] \IZ[x]/(4x) \cong \IZ_{4} [/mm]

Da [mm] \IZ_{4} [/mm] kein Integritätsbereich (2*2=0) folgt R[x]/ker [mm] \varphi_{\alpha} [/mm] kein Integritätsbereich


Und dann nochmal genau das selbe mit [mm] \IZ_{9} [/mm] (3*3=0)

b) [mm] \IR[x,y] [/mm] faktoriell, aber kein Hauptidealring, da (x,y) kein Hauptideal

c) [mm] \varphi_{\alpha}: \IZ[x] \rightarrow \IZ, [/mm] mit p(x) [mm] \longmapsto p(\alpha), [/mm] für festes [mm] \alpha \in \IZ [/mm]

[mm] \Rightarrow \IZ[x]/ker \varphi_{\alpha} \cong \IZ [/mm]

Sei z.B. [mm] \alpha [/mm] = 1, dann gilt

[mm] \IZ[x]/(x-1) \cong \IZ [/mm]

Da [mm] \IZ [/mm] euklidisch, aber kein Körper, folgt aufgrund der Isomorphie die Behauptung

d) [mm] \varphi_{\alpha}: \IR[x] \rightarrow \IR, [/mm] mit p(x) [mm] \longmapsto p(\alpha), [/mm] für festes [mm] \alpha \in \IR [/mm]

[mm] \IR[x]/ker \varphi_{\alpha} \cong \IR [/mm]

Sei z.B. [mm] \alpha [/mm] = [mm] \wurzel{2}, [/mm] dann gilt

[mm] \IR[x]/(x^{2}-2) \cong \IR [/mm]

Da [mm] \IR [/mm] Körper folgt aufgrund der Isomorphie, dass [mm] \IR[x]/ker \varphi_{\alpha} [/mm] Körper ist

Das selbe nochmal mit [mm] \IC [/mm]

Wäre das so ok? Würde mich über eine Rückmeldung freuen :-)

LG :-)

        
Bezug
Beispiele finden für Ringe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:29 Sa 14.12.2013
Autor: derriemann

Niemand, der kurz rüberguckt? :-(

Bezug
        
Bezug
Beispiele finden für Ringe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:04 So 15.12.2013
Autor: derriemann

:-(

Bezug
        
Bezug
Beispiele finden für Ringe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 So 15.12.2013
Autor: felixf

Moin,

sorry das ich erst jetzt schreibe, aber bevor das niemand tut hier ein paar Kommentare:

> Finden Sie möglichst viele nicht isomorphe Beispiele für
> Ringe R, die die untenstehenden Eigenschaften erfüllen.
> Hierbei soll R entweder ein Polynomring über [mm]\IR[/mm] oder ein
> Restklassenring eines Polynomringes nach einem seiner
> Ideale sein.
>  
> a) R kein Integritätsbereich (mind. zwei Beispiele)
>  b) R faktoriell, aber kein Hauptidealring (mind. ein
> Beispiel)
>  c) R euklidisch, aber kein Körper (mind. ein Beispiel)
>  d) R Körper (mind. zwei Beispiele)
>  
> Hallo, :-)
>  wollte nur fragen, ob meine Beispiele so richtig sind:
>  
> a)
> [mm]\varphi_{\alpha}: \IZ[x] \rightarrow \IZ_{4},[/mm] mit p(x)
> [mm]\longmapsto p(\alpha)[/mm] mod 4, für festes [mm]\alpha \in \IZ_{4}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \IZ[x]/ker \varphi_{\alpha} \cong \IZ_{4}[/mm]

[ok]

> Sei z.B. [mm]\alpha=1,[/mm] dann gilt
>  
> [mm]\IZ[x]/(4x) \cong \IZ_{4}[/mm]

Nein, der Kern wird nicht von 4x erzeugt. Der Restklassenring [mm] $\IZ[x]/(4 [/mm] x)$ hat uebrigens unendlich viele Elemente.

Wenn du dir das Ideal $(4, x)$ anschaust stimmt der Isomorphismus. Das ist aber der Kern fuer [mm] $\alpha [/mm] = 0$ und nicht der fuer [mm] $\alpha [/mm] = 1$.

> Da [mm]\IZ_{4}[/mm] kein Integritätsbereich (2*2=0) folgt R[x]/ker
> [mm]\varphi_{\alpha}[/mm] kein Integritätsbereich
>  
>
> Und dann nochmal genau das selbe mit [mm]\IZ_{9}[/mm] (3*3=0)

[ok]

Kann es aber sein, dass du Restklassenringe von Polynomringen ueber [mm] $\IR$ [/mm] anschauen sollst? Dann kannst du diese beiden Beispiele nicht nehmen.

> b) [mm]\IR[x,y][/mm] faktoriell, aber kein Hauptidealring, da (x,y)
> kein Hauptideal

[ok]

Der Ring [mm] $\IZ[x]$ [/mm] tut's uebrigens auch (ist allerdings wieder kein Polynomring ueber [mm] $\IR$). [/mm]

> c) [mm]\varphi_{\alpha}: \IZ[x] \rightarrow \IZ,[/mm] mit p(x)
> [mm]\longmapsto p(\alpha),[/mm] für festes [mm]\alpha \in \IZ[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \IZ[x]/ker \varphi_{\alpha} \cong \IZ[/mm]
>  
> Sei z.B. [mm]\alpha[/mm] = 1, dann gilt
>  
> [mm]\IZ[x]/(x-1) \cong \IZ[/mm]
>  
> Da [mm]\IZ[/mm] euklidisch, aber kein Körper, folgt aufgrund der
> Isomorphie die Behauptung

Das schon. Aber warum nimmst du nicht einfach [mm] $\IR[x]$? [/mm]

> d) [mm]\varphi_{\alpha}: \IR[x] \rightarrow \IR,[/mm] mit p(x)
> [mm]\longmapsto p(\alpha),[/mm] für festes [mm]\alpha \in \IR[/mm]
>  
> [mm]\IR[x]/ker \varphi_{\alpha} \cong \IR[/mm]

[ok]

> Sei z.B. [mm]\alpha[/mm] = [mm]\wurzel{2},[/mm] dann gilt
>  
> [mm]\IR[x]/(x^{2}-2) \cong \IR[/mm]

Nein! Der Ring [mm] $\IR[x]/(x^2-2)$ [/mm] ist isomorph zu [mm] $\IR \times \IR$! [/mm] Schliesslich ist [mm] $x^2 [/mm] - 2 = (x - [mm] \sqrt{2}) [/mm] (x + [mm] \sqrt{2})$. [/mm]

Das Ideal [mm] $\ker \varphi_{\sqrt{2}}$ [/mm] ist gleich $(x - [mm] \sqrt{2})$. [/mm]

> Da [mm]\IR[/mm] Körper folgt aufgrund der Isomorphie, dass
> [mm]\IR[x]/ker \varphi_{\alpha}[/mm] Körper ist

[ok]

> Das selbe nochmal mit [mm]\IC[/mm]

[ok] (ist allerdings wieder kein Polynomring ueber [mm] $\IR$ [/mm] oder ein Quotient eines solchen.)

LG Felix


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Beispiele finden für Ringe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:15 Mo 16.12.2013
Autor: derriemann

Super, dankeschön :-)

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Beispiele finden für Ringe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:01 Di 17.12.2013
Autor: derriemann

Hi, eine (oder auch mehrere) Frage habe ich doch noch :-)

Wie kann man sich denn das Ideal (4,x) konkret vorstellen? Wäre das so etwas wie: [mm] \IR[x]*(4,x), [/mm] also z.B. x+4, [mm] x^{2}+4x,... [/mm]
Und wieso würde denn nicht (4x) gehen?

Würde es denn mehr Beispiele mit [mm] \IR[x] [/mm] geben anstelle von [mm] \IZ[x])? [/mm] Mir sind da überhaupt keine eingefallen


LG :-)

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Beispiele finden für Ringe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:42 Di 17.12.2013
Autor: felixf

Moin!

> Wie kann man sich denn das Ideal (4,x) konkret vorstellen?
> Wäre das so etwas wie: [mm]\IR[x]*(4,x),[/mm] also z.B. x+4,
> [mm]x^{2}+4x,...[/mm]

Das Ideal $(4, x)$ in [mm] $\IZ[x]$ [/mm] ist die Menge [mm] $\{ 4 f + x g \mid f, g \in \IZ[x] \}$. [/mm] Durch das $4 f$ bekommst du alle Polynome, deren Koeffizienten durch 4 teilbar sind, und durch $x g$ alle Polynome, deren konstanter Term 0 ist. Wenn du beides addierst und $f, g$ ueber [mm] $\IZ[x]$ [/mm] wandern laesst, bekommst du alle Polynome, deren konstanter Term durch 4 teilbar ist und deren andere Terme beliebig sind.

Damit kannst du [mm] $\IZ[x]/(4, [/mm] x) [mm] \cong \IZ/4\IZ$ [/mm] zeigen.

>  Und wieso würde denn nicht (4x) gehen?

Das geht schon, aber nicht so wie du willst. Du musst andere Nullteiler angeben. [mm] ($\IZ$ [/mm] ist uebrigens ein Unterring von [mm] $\IZ[x]/(4x)$.) [/mm]

> Würde es denn mehr Beispiele mit [mm]\IR[x][/mm] geben anstelle von
> [mm]\IZ[x])?[/mm] Mir sind da überhaupt keine eingefallen

Nein, eher weniger, aber in der Aufgabenstellung wird danach gefragt.

LG Felix


Bezug
                                
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Beispiele finden für Ringe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Di 17.12.2013
Autor: derriemann

Hm, aber für a) hätte ich dann so überhaupt keine Ahnung, wie man das mit [mm] \IR [/mm] machen sollte... :-(

Bezug
                                        
Bezug
Beispiele finden für Ringe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:16 Mi 18.12.2013
Autor: felixf

Moin!

> Hm, aber für a) hätte ich dann so überhaupt keine
> Ahnung, wie man das mit [mm]\IR[/mm] machen sollte... :-(

$R/I$ ist doch genau dann ein Integritaetsbereich, wenn $I$ ein Primideal ist. Wenn $R = [mm] \IR[x]$ [/mm] ist, was weisst du dann darueber, wann ein Ideal $I = (f)$ ein Primideal ist und wann nicht?

LG Felix


Bezug
                                                
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Beispiele finden für Ringe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:33 Mi 18.12.2013
Autor: derriemann

Achso, stimmt. Dieser Satz war schon wieder ganz hinten im Kopf verstaut :-)

Das Ideal (f) wäre kein Primideal, wenn f reduzibel ist. Als Beispiel würde ich dann nehmen I = [mm] (x^{2}-1), [/mm] denn I=(x+1)*(x-1), beides Nichteinheiten in [mm] \IR[x]. [/mm]
Also wäre [mm] \IR[x]/(x^{2}-1) [/mm] kein Integritätsbereich

LG
derriemann

Bezug
                                                        
Bezug
Beispiele finden für Ringe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Mi 18.12.2013
Autor: felixf

Moin!

> Achso, stimmt. Dieser Satz war schon wieder ganz hinten im
> Kopf verstaut :-)
>  
> Das Ideal (f) wäre kein Primideal, wenn f reduzibel ist.
> Als Beispiel würde ich dann nehmen I = [mm](x^{2}-1),[/mm] denn
> I=(x+1)*(x-1), beides Nichteinheiten in [mm]\IR[x].[/mm]

Und 0 sind sie auch nicht, ansonsten waer $I$ trotzdem ein Primideal :-)

> Also wäre [mm]\IR[x]/(x^{2}-1)[/mm] kein Integritätsbereich

Genau.

LG Felix


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