Benford's Law < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ihr Vermögen wächst exponentiell, nach der Formel f(t)= [mm] Ce^{rt} [/mm] . r ist positiv, C hoffentlich auch. Berechnen Sie die Zeit, die es braucht, bis die erste Ziffer ihres Vermögens von k auf k+1 springt, bzw von 9 auf 1. |
OK, also das Problem ist ich habe keine Ahnung wie ich sowas berechnen soll ohne C oder r zu kennen. Das ist mir wirklich schleierhaft ... Bei der Aufgabe geht es um Benford's law. Die Formel hierzu ist: [mm] p_k [/mm] = log(k+1)-log(k)
d.h. die Zahlen fallen von 1 bis 9 in ihrer Wahrscheinlichkeit stetig ab. Wie mir das jetzt aber weiterhelfen soll weiß ich nicht. Ich wäre dankbar für irgendeinen Anstoß in die richtige Richtung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Mo 04.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
von r hängt es natürlich ab. aber C kannst du doch als 1000 oder 9000 oder 1 und 9 bzw k 000, (k+1)000 oder einfach k und k+1 0<k<9
es kommt ja wohl nur auf das Vehältnis der Zeiten 1 bis 9 zu 9 bis 1 oder 1 bis 2 und 2 bis 3 an. die absoluten Zeiten hängen dann allerdings von r ab.
Gruss leduart
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Erstmal, vielen Dank für die schnelle Antwort! Also wenn ich dann davon ausgehe dann wächst k ja zu k+1 wenn es sich verdoppelt. Daraus folgt dann [mm] 2=e^{rt}
[/mm]
log2=rt*loge
t= log2/(loge*r)
Stimmt das dann so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Di 05.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du darauf dass k+1=2k ist, das gilt nur für k=1; k=7 k+1=8
Gruss leduart
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Ah natürlich ... dann habe ich also log( [mm] \bruch{k+1}{k})/ [/mm] log(e)*1/r=t
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Ich hätte da noch eine Anschlussfrage: und zwar wie komme ich jetzt von meinem Ergebnis auf das Allgemeine Gesetz, also: [mm] p_{k}=log(k+1)-log(k)
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Do 07.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Ah natürlich ... dann habe ich also log( [mm]\bruch{k+1}{k})/[/mm]
> log(e)*1/r=t
... und was war jetzt die neue Frage ?
Falls eine Größe im Lauf der Zeit wirklich exponentiell
wächst (was man bei einem Vermögen nicht leichthin
als gegeben voraussetzen sollte !), so kommt man für
den Wachstumsfaktor innerhalb eines Zeitintervalls [mm] \Delta{t}
[/mm]
auf:
[mm] $\frac{f(t+\Delta{t})}{f(t)}\ [/mm] =\ [mm] \frac{C*e^{r*(t+\Delta{t})}}{C*e^{r*t}}\ [/mm] =\ [mm] e^{r*\Delta{t}}$
[/mm]
Wenn man also berechnen will, wie lange die Anfangs-
ziffer des dezimalen Wertes der Größe jeweils auf
einem bestimmten Wert $\ [mm] k\in \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$
[/mm]
verharrt, so kann man die Gleichung
$\ [mm] e^{r*\Delta{t}}\ [/mm] =\ [mm] \frac{k+1}{k}$
[/mm]
nach der Größe [mm] \Delta{t} [/mm] auflösen, falls [mm] 1\le{k}\le{8}
[/mm]
Die Verweildauer auf der Anfangsziffer 9 ist die
Lösung [mm] \Delta{t} [/mm] der Gleichung $\ [mm] e^{r*\Delta{t}}\ [/mm] =\ [mm] \frac{10}{9}$
[/mm]
LG , Al-Chw.
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