Beppo-Levi, Cauchy-Produkt < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] und [mm] $\sum_{n=0}^\infty b_n$ [/mm] absolut konvergente Reihen mit [mm] $a_n, b_n\in\mathbb{C}$. [/mm] Zeigen Sie, dass dann
[mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n\cdot \sum_{n=0}^\infty b_n=\sum_{n=0}^\infty c_n$ [/mm] mit
[mm] $c_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}$
[/mm]
indem Sie die Sätze von Beppo-Levi und über dominierte Konvergenz auf die Funktion [mm] $(k,l)\mapsto a_kb_l$ [/mm] und das Zählmaß auf [mm] $\mathbb{N}_0\times \mathbb{N}_0$ [/mm] anwenden. |
Hallo,
ich beschäftige mich derzeit mit dieser Aufgabe und benötige etwas Hilfe.
Wie die Aufgabe zu lösen ist, ist ja mit angegeben. Dies versuche ich umzusetzen.
Zu erst benötige ich einen Maßraum:
[mm] $(\mathbb{N}_0\times \mathbb{N}_0, \mathcal{P}(\mathbb{N}_0\times \mathbb{N}_0), \mu)$, [/mm] wobei [mm] $\mu$ [/mm] das Zählmaß sein soll.
Ich betrachte die Funktion:
[mm] $h:\mathbb{N}_0\times \mathbb{N}_0\to\mathbb{C}$
[/mm]
[mm] $(k,l)\mapsto a_kb_l$
[/mm]
Das Zählmaß von [mm] $a_kb_l$ [/mm] sollte $k+l$ sein, also [mm] $\mu(a_kb_l)=k+l$
[/mm]
Das sollte bisher zwar noch keine Rolle spielen, aber nur fürs Verständnis.
Ich hatte vorher gedacht [mm] $\mu(a_kb_l)=kl$.
[/mm]
Woran ich jetzt hänge ist folgendes:
Um den Satz von Beppo-Levi anwenden zu können, und ich denke, dass man ihn und das Zählmaß so benutzt um die unendliche Reihe darzustellen, muss ich eine Funktionenfolge haben, welche monoton steigt.
Betrachte ich dabei eine Funktionenfolge der "Bauart" wie mein $h$, so habe ich das Problem, dass ich komplexe Zahlen als Funktionswerte erhalte. Diese kann ich jedoch nicht vergleichen.
Ich müsste also vielleicht eher eine Funktionenfolge der Absolutbeträge betrachten.
Grob gesagt verstehe ich also den nutzen der vorgeschlagenen Funktion noch nicht.
Über einen Denkanstoß in die richtige Richtung würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
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Hiho,
machen wir das einfache mal zuerst:
> Betrachte ich dabei eine Funktionenfolge der "Bauart" wie
> mein [mm]h[/mm], so habe ich das Problem, dass ich komplexe Zahlen
> als Funktionswerte erhalte. Diese kann ich jedoch nicht
> vergleichen.
> Ich müsste also vielleicht eher eine Funktionenfolge der
> Absolutbeträge betrachten.
Wir beweisen den Satz erstmal für Elemente aus [mm] $\IR$. [/mm] Wenn wir das haben, geht das über die Gleichheit $z = x + iy$ relativ schnell auf [mm] \IC [/mm] hochzuziehen.
> Zu erst benötige ich einen Maßraum:
>
> [mm](\mathbb{N}_0\times \mathbb{N}_0, \mathcal{P}(\mathbb{N}_0\times \mathbb{N}_0), \mu)[/mm],
> wobei [mm]\mu[/mm] das Zählmaß sein soll.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich betrachte die Funktion:
>
> [mm]h:\mathbb{N}_0\times \mathbb{N}_0\to\mathbb{C}[/mm]
>
> [mm](k,l)\mapsto a_kb_l[/mm]
> Das Zählmaß von [mm]a_kb_l[/mm] sollte [mm]k+l[/mm] sein, also
> [mm]\mu(a_kb_l)=k+l[/mm]
Wer sagt das?
Das ist im übrigen falsch. Wie der Name schon sagt, zählt das Zählmaß einfach die Elemente einer Menge. Insbesondere macht obiger Ausdruck schlichtweg keinen Sinn.
Nun sollst du den Satz von Beppo-Levi anwenden. Der hat nun was mit monotonen Funktionenfolgen und Integralen zu tun.
Aber ich sehe hier noch gar keine Integrale!
Daher meine Frage an dich: Wie hängen denn Summen & Zählmaß mit Integralen zusammen?
Gruß,
Gono
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Hi,
> Daher meine Frage an dich: Wie hängen denn Summen & Zählmaß mit Integralen zusammen?
bezüglich den Integralen hatte ich etwas kurzes geschrieben:
> ich denke, dass man ihn und das Zählmaß so benutzt um die unendliche Reihe darzustellen
Über dem Zählmaß kann man ein Integral ja als Summe/Reihe darstellen.
Ich schreibe im folgenden auch "wieder" [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] für [mm] $\mathbb{N}_0$.
[/mm]
Es ist:
[mm] $\int_{\mathbb{N}\times\mathbb{N}} f\, d\mu=\sum_{(k,l)\in\mathbb{N}} [/mm] f(k,l)$
und mit dem Doppelreihensatz:
[mm] $\sum_{(k,l)\in\mathbb{N}} f(k,l)=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{l=0}^\infty [/mm] f(k,l)$
> Das ist im übrigen falsch. Wie der Name schon sagt, zählt das Zählmaß einfach die Elemente einer Menge.
Ja. Ok, dann macht [mm] $\mu(a_kb_l)$ [/mm] ja von vornherein keinen Sinn, weil es keine Menge ist...
Dummer Fehler.
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Hiho,
> Über dem Zählmaß kann man ein Integral ja als
> Summe/Reihe darstellen.
>
> Ich schreibe im folgenden auch "wieder" [mm]\mathbb{N}[/mm] für
> [mm]\mathbb{N}_0[/mm].
> Es ist:
>
> [mm]\int_{\mathbb{N}\times\mathbb{N}} f\, d\mu=\sum_{(k,l)\in\mathbb{N}} f(k,l)[/mm]
Na und nun maßtheoretisches Standardargument
1.) f einfach
2.) f nichtnegativ
3.) f integrierbar
Auf auf.
Gruß,
Gono
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Das $f$ bezeichnet die Funktion, welche ich $h$ genannt habe, richtig?
Was meinst du mit 1) f ist einfach?
3) f ist integrierbar, weil die Reihen absolut konvergieren.
Warum ist f nichtnegativ?
Wenn die Folgen [mm] $a_n, b_n$ [/mm] auch negative Werte annehmen können, dann kann f natürlich auch negativ sein.
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Hiho,
> Das [mm]f[/mm] bezeichnet die Funktion, welche ich [mm]h[/mm] genannt habe, richtig?
Ja.
>
> Was meinst du mit 1) f ist einfach?
>
> 3) f ist integrierbar, weil die Reihen absolut
> konvergieren.
>
> Warum ist f nichtnegativ?
> Wenn die Folgen [mm]a_n, b_n[/mm] auch negative Werte annehmen
> können, dann kann f natürlich auch negativ sein.
Das hast du falsch verstanden.
Die Maßtheoretische Standardvorgehensweise ist folgende:
1.) Zeige die Aussage für den Fall, dass f eine einfache Funktion ist. Was das ist, habt ihr bestimmt definiert!
2.) Zeige mit 1.), dass die Aussage auch für alle nichtnegativen Funktionen gilt
3.) Zeige mit 2.), dass die Aussage auch für alle integrierbaren Funktionen gilt
Damit wäre dein Satz dann gezeigt.
Gruß,
Gono
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Achso, meinst du mit einfacher Funktion eine Treppenfunktion?
Danach teilt man die Funktion ja normalerweise auf in $h=h_+-h_-$ und zeigt dann per Approximation es für beliebige Funktionen.
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Hiho,
> Achso, meinst du mit einfacher Funktion eine Treppenfunktion?
Ja, wobei eine einfache Funktion eine Treppenfunktion mit endlich vielen Werten ist.
Gruß,
Gono
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> Ja, wobei eine einfache Funktion eine Treppenfunktion mit endlich vielen Werten ist.
Das heißt man nimmt nur endlich viele "Abstufungen" um die Funktion zu approximieren?
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Hiho,
korrekt.
Gruß,
Gono
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Ich betrachte nun also eine einfache Funktion $f$ und möchte für diese die Aussage beweisen, also
[mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n \sum_{n=0}^\infty b_n=\sum_{n=0}^\infty c_n$
[/mm]
[mm] $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\to\mathbb{C}$
[/mm]
[mm] $(k,l)\mapsto a_kb_l$
[/mm]
$f$ nimmt nur endlich viele verschiedene Werte an. Dann gibt es ein $K, L$ so, dass für alle [mm] $k\geq [/mm] K$ und alle [mm] $l\geq [/mm] L$ der Funktionswert [mm] $a_Kb_L$.
[/mm]
Ich wähle [mm] $M=\max\{K,L\}$ [/mm] dann kann ich die Reihen aufteilen:
[mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n=\sum_{n=0}^M a_n+\sum_{n=M+1}^\infty a_M$
[/mm]
[mm] $\sum_{n=0}^\infty b_n=\sum_{n=0}^M b_n+\sum_{n=M+1}^\infty b_M$
[/mm]
Wenn ich die Reihen nun multipliziere und vorher so aufteilen, dann macht es das nur komplizierter...
So wird es also wahrscheinlich nicht gehen.
Also wenn ich eine normale Funktion betrachte, dann ist diese ab einem gewissen Wert konstant. Das wäre hier mein $M$.
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Hiho,
Wir betrachten den Maßraum [mm] $\IN \times \IN, \mathcal{P}(\IN \times \IN), \mu$.
[/mm]
Nun haben wir eine einfache Funktion $f: [mm] \IN \times \IN \to \IR$, [/mm] d.h. f hat die Darstellung:
$f = [mm] \summe_{k=1}^n c_k 1_{C_k}$ [/mm] mit [mm] $c_k \not= [/mm] 0$ für [mm] $C_k \subseteq \IN \times \IN$ [/mm] und paarweise disjunkt.
Insbesondere sind alle [mm] $C_k$ [/mm] endlich (warum?).
Wenn wir das haben, machen wir mal weiter.
Gruß,
Gono
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> Nun haben wir eine einfache Funktion $ f: [mm] \IN \times \IN \to \IR [/mm] $, d.h. f hat die Darstellung:
$ f = [mm] \summe_{k=1}^n c_k 1_{C_k} [/mm] $ mit $ [mm] c_k \not= [/mm] 0 $ für $ [mm] C_k \subseteq \IN \times \IN [/mm] $ und paarweise disjunkt.
Soweit kann ich das nachvollziehen, aber in welchem Zusammenhang steht das "paarweise disjunkt"? Zu welchen Mengen soll [mm] $C_k$ [/mm] paarweise disjunkt sein?
Gilt für die [mm] $C_k$, [/mm] dass
[mm] $\bigcup_{k=0}^\infty C_k=\mathbb{N}\times\mathbb{N}$
[/mm]
> Insbesondere sind alle $ [mm] C_k [/mm] $ endlich (warum?).
Die [mm] $C_k$ [/mm] sind endlich, weil f als einfache Funktion nur endlich viele Werte annimmt. Wenn [mm] $C_k$ [/mm] nicht endlich wäre, würde $f$ auch unendlich viele verschiedene Wert annehmen.
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Hiho,
> Soweit kann ich das nachvollziehen, aber in welchem
> Zusammenhang steht das "paarweise disjunkt"? Zu welchen
> Mengen soll [mm]C_k[/mm] paarweise disjunkt sein?
Was bedeutet denn paarweise disjunkt??
> Gilt für die [mm]C_k[/mm], dass
>
> [mm]\bigcup_{k=0}^\infty C_k=\mathbb{N}\times\mathbb{N}[/mm]
Es sind keine unendlich viele [mm] $C_k$, [/mm] sondern nur endlich viele!!!
> > Insbesondere sind alle [mm]C_k[/mm] endlich (warum?).
>
> Die [mm]C_k[/mm] sind endlich, weil f als einfache Funktion nur
> endlich viele Werte annimmt.
Das hat nichts miteinander zu tun.
Bspw. ist die Funktion
$f(x,y) = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{falls x gerade } \\ 1, & \mbox{sonst } \end{cases}$
[/mm]
eine einfache Funktion, denn mit
[mm] $C_1 [/mm] = [mm] \{(x,y) \in \IN^2 | x \text{ gerade }\}$ [/mm] gilt:
$f(x,y) = [mm] 1\cdot 1_{C_1}$
[/mm]
aber: [mm] C_1 [/mm] enthält unendlich viele Elemente, d.h. [mm] $\mu(C_1) [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
Gruß,
Gono
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> Was bedeutet denn paarweise disjunkt??
[mm] $C_1, C_2, [/mm] ...., [mm] C_n$ [/mm] sind paarweise disjunkt wenn
[mm] $C_i\cap C_j=\emptyset$ [/mm] für [mm] $i\neq [/mm] j$
Wenn ich es richtig sehe hast du in deinem vorherigen Beitrag nur ein [mm] $C_k$ [/mm] angegeben und ich fragte mich zu welcher Menge diese disjunkt sein soll.
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Hiho,
> > Was bedeutet denn paarweise disjunkt??
>
> [mm]C_1, C_2, ...., C_n[/mm] sind paarweise disjunkt wenn
>
> [mm]C_i\cap C_j=\emptyset[/mm] für [mm]i\neq j[/mm]
> Wenn ich es richtig sehe hast du in deinem vorherigen
> Beitrag nur ein [mm]C_k[/mm] angegeben und ich fragte mich zu
> welcher Menge diese disjunkt sein soll.
Bei nur einer Menge ist das nicht relevant..... aber wir reden hier gerade über Grundlagen. Du solltest die der Maßtheorie vielleicht besser nochmal nacharbeiten........
Gruß,
Gono
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Tut mir leid, aber ich glaube wir reden gerade ein bisschen an einander vorbei.
> Bei nur einer Menge ist das nicht relevant.....
Reden wir nun über nur eine Menge [mm] $C_k$ [/mm] oder geht es um mehrere Mengen
[mm] $C_1, C_2, [/mm] ..., [mm] C_k$ [/mm] welche jeweils paarweise disjunkt sind?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 So 17.01.2016 | | Autor: | fred97 |
Es war
$ f = [mm] \summe_{k=1}^n c_k 1_{C_k} [/mm] $ mit $ [mm] c_k \not= [/mm] 0 $ für $ [mm] C_k \subseteq \IN \times \IN [/mm] $ und paarweise disjunkt.
Wir haben also abzählbar viele Mengen [mm] C_1,C_2,C_3,....
[/mm]
Paareise disjunkt bedeutet: [mm] $C_j \cap C_k= \emptyset$ [/mm] für $j [mm] \ne [/mm] k$.
FRED
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Oh Gott....
Ich werde mich dann mal irgendwo im Wald vergraben gehen...
Weshalb die [mm] $C_k$ [/mm] endlich sind, weiß ich bisher noch nicht.
Hat es damit zu tun, dass die Summe
[mm] $\sum_{k=1}^n c_k1_{C_k}$
[/mm]
endlich sein muss, und wenn die [mm] $C_k$ [/mm] unendliche Mengen wären, dann wäre der Summenwert unendlich.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 19.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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