Beppo Levi < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man zeige: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\pi}{sin^n x dx} [/mm] = 0 |
Hallo!
also ich wollte den satz von Beppo Levi bzw den Satz über monotone Konvergenz verwenden.
Also Voraussetzungen sind gegeben:
[mm] f_k \ge [/mm] 0 messbar weil stetig und [mm] f_k(x) \to [/mm] 0 monoton steigend
und dann folgt ja gerade [mm] limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\pi}{sin^n x dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi}{0 dx} [/mm] = 0
was zu zeigen war.
aber jetzt die Frage ob das so okay ist und dann noch die Frage allgemein zu Beppo Levi: monoton steigend in x oder k? weil hier ist es ja monoton steigend in x und dann gilt das...
Danke schonmal für eure Hilfe!!
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Hiho,
es muss natürlich steigend in k sein, d.h. [mm] $f_k(x) \le f_{k+1}(x)$.
[/mm]
Aber: Die von dir gegebene Funktion ist ja nichtmal monoton steigend in x, denn offensichtlich ist $0 = [mm] \sin(\pi) [/mm] < [mm] \sin(\bruch{\pi}{2}) [/mm] = 1$
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Di 06.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> aber jetzt die Frage ob das so okay ist und dann noch die
> Frage allgemein zu Beppo Levi: monoton steigend in x oder
> k? weil hier ist es ja monoton steigend in x und dann gilt
> das...
[mm] $f_k$ [/mm] ist weder in x noch in k monoton steigend. Es ist monoton *fallend* in k, aber das hilft Dir bei Beppo Levi nix, weil da braucht man ja monoton steigend in k. Aber welchen Satz kann man bei einer monoton fallenden Funktion [mm] $f_k\geq [/mm] 0$ auf jeden Fall hernehmen? Was kennst Du denn außer Beppo Levi noch?
ciao
Stefan
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satz monotone konvergenz ist bei uns aber auch nur für monoton steigende funktionen formuliert..
ja ich weiß mit lebesgue geht das weil man ne majorante findet.
aber ich suche noch ein beispiel für beppo levi aber leider find ich kein beispiel dafür? kennt ihr eins??
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> aber ich suche noch ein beispiel für beppo levi aber
> leider find ich kein beispiel dafür? kennt ihr eins??
Untersuch doch mal [mm] $f_k(x) [/mm] = [mm] \bruch{k}{k+1}$ [/mm] auf einem Maßraum.
MFG,
Gono.
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Stimmt und dann steugend gegen 1 und dann ist beppo anwendbar
Okay verstanden aber heisst das jetzt vdtzt das beppo levi nie bei einer funktionenfolge gegen 0 anwendbar ist?? Weil kann ja da. Nicht steigend gegen die 0 laufen und positiv sein???
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> Okay verstanden aber heisst das jetzt vdtzt das beppo levi
> nie bei einer funktionenfolge gegen 0 anwendbar ist?? Weil
> kann ja da. Nicht steigend gegen die 0 laufen und positiv
> sein???
Korrekt :)
edit: Naja, [mm] $f_k(x) [/mm] = 0$ würde gehen als trivialer Fall.
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