Berechn. Determinanten über C! < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die Determinanten folgender Matritzen über C:
A = [mm] \pmat{ 1- \lambda & 2 & 3 \\ 0 & 1- \lambda & 1 \\ 2 & 0 & 1- \lambda}
[/mm]
; B = [mm] \pmat{ 5- \lambda & 0 \\ 2 & 3- \lambda }
[/mm]
Für welche [mm] \lambda \in [/mm] C bilden die Zeilen dieser Matritzen Basen von C³ bzw. C². |
Um die Determinanten zu berechnen muss ich die Matritzen ja auf ZSF bringen , allerdings steh ich auf dem SChlauch wie ich die [mm] \lambda [/mm] 's wegbekommen soll bzw. muss ich das überhaupt? ICh wette ja mal, dass wir nicht umsonst in den komplexen Zahlen sind? Ich hoffe mir kann jemand helfen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Di 22.01.2008 | | Autor: | Biboo |
Hey Richi4Life!
Ich gebe dir schonmal eine Antwort/Tip zu B!
Du berechnest die Determinante von B mit den Variablen aus.
Daraus erhältst du dann die Gleichung: [mm] det(B)=\lambda^{2}-8\lambda+15
[/mm]
Diese Gleichung setzt du gleich Null.
Durch p,q-Formel kannst du dann ja ausrechnen für welche Lambda die det(b)=0 ist.
Es gibt einen Satz, der besagt, dass die Determinante einer Matrix NUR ungleich null ist, wenn sie den maximalen Rang hat.
Wir haben jetzt aber ausgerechnet wann die Determinante null ist, also wann sie NICHT den maximalen Rang hat. Bei einer 2x2-Matrix bedeutet dies, dass die Spalten linear unabhängig sind, also beide Spalten(vektoren) eine Basis bilden.
Zusammengefasst:
[mm] \lambda^{2}-8\lambda+15=0 [/mm] --- [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] in B eingesetzt -> Basis
[mm] \lambda^{2}-8\lambda+15\not=0 [/mm] --- in B eingesetzt -> keine Basis, [mm] det(B)\not=0
[/mm]
Bei A musst du erstmal nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz die Determinante bestimmen und erhältst dann(ich zumindest) ein Polynom dritten Grades. Von diesem musst du dann die reelen und komplexen Nullstellen bestimmen insofern es welche gibt.
Bei B habe ich keine komplexen Nullstellen gefunden.
Vielleicht habe ich aber auch was verkehrt gemacht, dann bitte ich um Korrektur! :)
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