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Berechne X: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 So 06.02.2005
Autor: kai

Hallo nochmal,

habe folgende Aufgabe:

Man berechne X aus folgender Gleichung.  [mm] A=\pmat{ 3 & -1 \\ -2 & 1 } [/mm]

[mm] A^{T}XA^{-1} [/mm] + A = [mm] (A^{-1})^{T} [/mm]  

Ich hab dann mal versucht nach X aufzulösen.

[mm] A^{T}XA^{-1} [/mm] + A = [mm] (A^{-1})^{T} [/mm]    | -A


[mm] A^{T}XA^{-1} [/mm] = [mm] (A^{-1})^{T} [/mm] - A     | * A


[mm] A^{T}X [/mm] = [mm] A(A^{-1})^{T} [/mm] - AA    | * [mm] (A^{T})^{-1} [/mm]


[mm] (A^{T})^{-1} A(A^{-1})^{T} [/mm] - [mm] AA(A^{T})^{-1} [/mm] = X

Ich glaube das kann so nicht richtig sein, weil ich laut dieser Umstellung nach X für X nicht die richtige Matrix kriege.

Hoffe mir kann jemand einen Tip geben, welchen Fehler ich bei der Umstellung gemacht hab.

Meine inverse Matrix ist: [mm] A^{-1}=\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 3 } [/mm]

Vielen Dank für jede Hilfe.

Viele Grüsse Kai


      

        
Bezug
Berechne X: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:45 So 06.02.2005
Autor: pjoas

Hallo nochmal,
>  
> habe folgende Aufgabe:
>  
> Man berechne X aus folgender Gleichung.  [mm]A=\pmat{ 3 & -1 \\ -2 & 1 } [/mm]
>  
>
> [mm]A^{T}XA^{-1}[/mm] + A = [mm](A^{-1})^{T}[/mm]  
>
> Ich hab dann mal versucht nach X aufzulösen.
>  
> [mm]A^{T}XA^{-1}[/mm] + A = [mm](A^{-1})^{T}[/mm]    | -A
>  
>
> [mm]A^{T}XA^{-1}[/mm] = [mm](A^{-1})^{T}[/mm] - A     | * A
>  

von rechts dran multiplizieren!

>

statt

> [mm]A^{T}X[/mm] = [mm]A(A^{-1})^{T}[/mm] - AA    | * [mm](A^{T})^{-1} [/mm]

wird daraus

>  

[mm]A^{T}X[/mm] = [mm](A^{-1})^{T}A[/mm] - AA    | * [mm](A^{T})^{-1} [/mm]

>

gleicher Fehler, da  [mm] $](A^{T})^{-1}$ [/mm] von links dran multipliziert wird.
statt:

> [mm](A^{T})^{-1} (A^{-1})^{T}A[/mm] - [mm]AA(A^{T})^{-1}[/mm] = X

also
[mm](A^{T})^{-1} (A^{-1})^{T}A[/mm] - [mm](A^{T})^{-1}AA[/mm] = X

also insgesamt musst du nur einfach aufpassen, von welcher Seite du mit Matrizen multiplizierst

>  
> Ich glaube das kann so nicht richtig sein, weil ich laut
> dieser Umstellung nach X für X nicht die richtige Matrix
> kriege.
>  
> Hoffe mir kann jemand einen Tip geben, welchen Fehler ich
> bei der Umstellung gemacht hab.
>  
> Meine inverse Matrix ist: [mm]A^{-1}=\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 3 } [/mm]
>  
>
> Vielen Dank für jede Hilfe.
>  
> Viele Grüsse Kai
>  
>
>
>  


Bezug
                
Bezug
Berechne X: Häh?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:56 So 06.02.2005
Autor: Stefan

Hallo!

> Hallo Brackhaus,
>
> selbst wenn du dich ausreichend in algebraischer
> Zahlentheorie auskennst ist dieser Beweis - schon aufgrund
> seiner mächtigen Länge - harter Tobak;)

Von was redest du hier und was hat das mit der Aufgabe zu tun, wenn ich fragen darf???

Viele Grüße
Stefan


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Bezug
Berechne X: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:05 So 06.02.2005
Autor: pjoas

Hallo Stefan,

ich befürchte, der Beitrag sollte zum Wiles-Thread gehören - oder?

Bezug
                                
Bezug
Berechne X: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:10 So 06.02.2005
Autor: Stefan

Hallo Patrick!

Okay, verstehe, dann hast du die Zeilen vermutlich aus Versehen hier hereinkopiert. Alles klar, Danke! [sunny]

Viele Grüße
Stefan

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Bezug
Berechne X: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:14 So 06.02.2005
Autor: pjoas

die standen noch im Postfenster... hatte angefangen, eine Bemerkung zum Wilesartikel zu schreiben und hatte das abgebrochen... und eben bei der Beantwortung vergessen..


mea culpa mea maxima culpa

und sorry für die Verwirrung

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Bezug
Berechne X: Passt:-)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:34 So 06.02.2005
Autor: kai

Hallo Patrick,

vielen Dank für deine Hilfe. Habs mit deiner Hilfestellung nochmal gerechnet und es hat perfekt geklappt.

Viele Grüsse Kai



Bezug
                        
Bezug
Berechne X: Werte ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 So 06.02.2005
Autor: DeusRa

Hey,

ich habe soeben deine Aufgabe nachgerechnet und ich bin auf folgende Lösungen gekommen.
Wäre genial, wenn jemand diese als richtig oder falsch kennzeichnen könnte.

A= [mm] \pmat{ 3 & -1 \\ -2 & 1 }, [/mm] A-1= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 3 }. [/mm]

So die Eigenwerte von A betragen: [mm] 2+\wurzel{3} [/mm] und [mm] 2-\wurzel{3}. [/mm] Die Eigenvektoren betragen: [mm] E(2+\wurzel{3})= \pmat{ \bruch{1}{1+\wurzel{3}} \\ 1 } [/mm] und [mm] E(2-\wurzel{3})= \pmat{ \bruch{1}{1-\wurzel{3}} \\ 1 }. [/mm]
Somit ist AT= [mm] \pmat{ \bruch{1}{1+\wurzel{3}} & \bruch{1}{1-\wurzel{3}} \\ 1 & 1 }. [/mm]


So, dass ist soweit das was ich raus habe.
X habe ich noch nicht ausgerechnet.
Könnte jemand die Lsg von X hier posten, dann kann ich es danach besser überprüfen und muss es nicht nochmal posten.

Kleine Frage nebenbei: Man kann für (AT)-1 nicht A-T schreiben, oder ?

Bezug
                                
Bezug
Berechne X: Meine Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:36 So 06.02.2005
Autor: kai

Hallo,

meine Lösung ist: X =  [mm] \pmat{ -2 & 3 \\ 3 & 2 } [/mm]

Wenn du X in die Ausgangsgleichung einträgst, kommt das wunderbar hin.

Diese Sachen mit Eigenvektoren hab ich gar nicht gemacht. Muss auch sagen das ich nicht weiss was das bedeutet;-)

Hoffe das hilft.

Viele Grüsse Kai

Bezug
                                
Bezug
Berechne X: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:28 Mo 07.02.2005
Autor: DaMenge

Hi DeusRa,

kann es sein, dass du von etwas anderem sprichst als hier angegeben?
Also [mm] A^T [/mm] soll nur die Transponierte sein, d.h. wenn $ [mm] A=\pmat{ 3 & -1 \\ -2 & 1 } [/mm] $ dann ist $ [mm] A^T=\pmat{ 3 & -2 \\ -1 & 1 } [/mm] $

> Kleine Frage nebenbei: Man kann für
> (AT)-1 nicht A-T
> schreiben, oder ?

Also $ [mm] (A^T)^{-1} [/mm] $ soll die Invertierte der Transponerten sein.
was soll denn $ [mm] A^{-T} [/mm] $ sein?
es gilt aber schon : $ [mm] (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T [/mm] $ , falls du dies meintest.

viele Grüße
DaMenge

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