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Forum "Integration" - Berechne das Integral
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Berechne das Integral: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:02 Fr 04.10.2019
Autor: bondi

Aufgabe
Berechne das folgende Integral: [mm] \integral \bruch{-x}{x^2 - x} \medspace dx [/mm]

Hallo,
ich bin das Integral auf []Integralrechner durchgegangen.

Beim Substituieren hake ich an folgender Stelle:

Substituiere [mm]u=x^2-1 \rightarrow \bruch{du}{dx} = 2x [/mm]

Ist [mm] \bruch{du}{dx} = Ableitung \medspace von \medspace u [/mm] generell meine Ausgangsgleichung beim Ableiten?

Nach dem Umstellen nach [mm] dx [/mm] erhalte ich: [mm] dx = \bruch{1}{2x} \medspace du [/mm]

Für einen Tipp, wie sich hieraus [mm]- \bruch{1}{2} \integral \bruch{1}{u} \medspace du [/mm] ergibt, bin ich dankbar.



        
Bezug
Berechne das Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 Fr 04.10.2019
Autor: Fulla


> Berechne das folgende Integral: [mm]\integral \bruch{-x}{x^2 - x} \medspace dx[/mm]

Hallo boni,

wenn ich deine Berechnungen unten ansehe, glaube ich, dass du ein anderes Integral, nämlich [mm]\int\frac{-x}{x^2-1}\ dx[/mm], berechnen willst.

> Hallo,
> ich bin das Integral auf []Integralrechner
> durchgegangen.

>

> Beim Substituieren hake ich an folgender Stelle:

>

> Substituiere [mm]u=x^2-1 \rightarrow \bruch{du}{dx} = 2x[/mm]

>

> Ist [mm]\bruch{du}{dx} = Ableitung \medspace von \medspace u[/mm]
> generell meine Ausgangsgleichung beim Ableiten?

>

> Nach dem Umstellen nach [mm]dx[/mm] erhalte ich: [mm]dx = \bruch{1}{2x} \medspace du[/mm]

>

> Für einen Tipp, wie sich hieraus [mm]- \bruch{1}{2} \integral \bruch{1}{u} \medspace du[/mm]
> ergibt, bin ich dankbar.

Bei der Substitution führst du eine neue Varible ein (hier [mm]u[/mm]) und zwar mit dem Ziel, dass danach alles von dieser neuen Variablen abhängig ist. Insbesondere soll dann auch nach dieser integriert werden. Das heißt, dein Ziel ist, dass du mit der richtigen Substitution alle [mm]x[/mm] verschwinden und nur noch [mm]u[/mm]'s vorhanden sind.

Hier wird also der Nenner [mm]x^2-1[/mm] durch [mm]u[/mm] ersetzt. Es bleibt aber noch ein [mm]x[/mm] im Zähler und das [mm]dx[/mm] übrig.
Wir haben aber einen Ausdruck für [mm]dx[/mm], der das Differential in Abhängigkeit von [mm]u[/mm] darstellt: [mm]dx=\frac{1}{2x}du[/mm]. (Ist dir klar, wie man auf diesen Ausdruck kommt?)

Insgesamt sieht das dann so aus:
[mm]\int\frac{-x}{\blue{x^2-1}}\red{dx}=\int\frac{-x}{\blue{u}}\red{\frac{1}{2x}du}=\int\frac{-1}{2u}du=-\frac 12\int\frac 1u du[/mm].

Die Methode der Substitution funktioniert in diesem Beispiel, weil sich die verbleibenden $x$ im zweiten Integral der obigen Gleichung gerade wegkürzen und danach alles nur noch von $u$ abhängt.

Man sollte evtl. auch noch ein paar Worte über die Fälle [mm] $x=\pm [/mm] 1$ und $x=0$ verlieren...

Lieben Gruß
Fulla

Bezug
                
Bezug
Berechne das Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:44 Sa 05.10.2019
Autor: bondi

Hi Fulla,
danke für deine ausführliche Antwort :) Jetzt ist's klar, wobei die entscheidende Stelle diese war:

[mm] \integral \bruch{-x}{x^2-1} \medspace \green{dx} = \integral \bruch{-x}{u} \medspace \green{\bruch{-1}{2x} \medspace du} [/mm]

1 noch: Zu Beginn hatte ich nach [mm] u = x^2 - 1 \Rightarrow \bruch{du}{dx} = 2x [/mm] gefragt // integralrechner.de hatte das so angezeigt.

Ist [mm] \bruch{du}{dx} = 1. \medspace Ableitung \medspace von \medspace u [/mm] immer die Ausgangsgleichung beim Substituieren?

Bezug
                        
Bezug
Berechne das Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:44 Sa 05.10.2019
Autor: hase-hh

Moin,

> 1 noch: Zu Beginn hatte ich nach [mm]u = x^2 - 1 \Rightarrow \bruch{du}{dx} = 2x [/mm]
> gefragt // integralrechner.de hatte das so angezeigt.
>  
> Ist [mm]\bruch{du}{dx} = 1. \medspace Ableitung \medspace von \medspace u[/mm]
> immer die Ausgangsgleichung beim Substituieren?

Ja,  es gilt immer:   [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = u '




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Bezug
Berechne das Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:28 Sa 05.10.2019
Autor: Gonozal_IX

Hallo fulla,

> [mm]\int\frac{-x}{\blue{x^2-1}}\red{dx}=\int\frac{-x}{\blue{u}}\red{\frac{1}{2x}du}=\int\frac{-1}{2u}du=-\frac 12\int\frac 1u du[/mm].

Ich halte das mit dem "Kürzen" für äußerst fragwürdig, da du im selben Ausdruck einmal die substituierte Variable und einmal die Ausgangsvariable verwendest… dies kann und sollte gar nicht auftreten!

Dies fängt bei dir schon an bei:

> Nach dem Umstellen nach $ dx $ erhalte ich: $ dx = [mm] \bruch{1}{2x} \medspace [/mm] du $

Rechts steht hier ein Ausdruck von x, der nach "du" integriert wird.
Das macht keinen Sinn. Sauberer wäre es, wie folgt:

Nach dem Umstellen erhält man:
$ 2x dx = [mm] \medspace [/mm] du $

und damit:
$ [mm] \int\frac{-x}{x^2-1}dx [/mm] = [mm] -\frac{1}{2} \int\frac{1}{\blue{x^2-1}}\red{2x dx} [/mm] =  [mm] -\frac{1}{2} \int\frac{1}{\blue{u}}\red{du}$ [/mm]

Gruß,
Gono

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Berechne das Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 Fr 04.10.2019
Autor: fred97


> Berechne das folgende Integral: [mm]\integral \bruch{-x}{x^2 - x} \medspace dx[/mm]
>  
> Hallo,
>  ich bin das Integral auf []Integralrechner
> durchgegangen.
>  
> Beim Substituieren hake ich an folgender Stelle:
>  
> Substituiere [mm]u=x^2-1 \rightarrow \bruch{du}{dx} = 2x[/mm]
>  
> Ist [mm]\bruch{du}{dx} = Ableitung \medspace von \medspace u[/mm]
> generell meine Ausgangsgleichung beim Ableiten?
>  
> Nach dem Umstellen nach [mm]dx[/mm] erhalte ich: [mm]dx = \bruch{1}{2x} \medspace du[/mm]
>  
> Für einen Tipp, wie sich hieraus [mm]- \bruch{1}{2} \integral \bruch{1}{u} \medspace du[/mm]
> ergibt, bin ich dankbar.
>  
>  

Warum  dividierst Du nicht durch x. Dann ist zu integrieren  [mm] \frac{1}{1-x}. [/mm] Da fällt mir  doch der  Logarithmus ein....


Bezug
                
Bezug
Berechne das Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:01 Sa 05.10.2019
Autor: bondi

Hi Fred,
hatte mich beim Einstellen der Frage mit dem Integral verhauen. Wäre [mm] \integral \bruch{-x}{x^2-1} \medspace dx [/mm] korrekt, wäre dein Ansatz naheliegend. Fulla war so frei, mich auf den Pfad zurück zu bringen ...



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