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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 Do 17.01.2013 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | a)
Berechnen sie die determinante der reellen n [mm] \times [/mm] n-Matrix A = ( [mm] a_{i,j} [/mm] ) mit [mm] a_{i,j} [/mm] = 1 für i [mm] \not= [/mm] j und [mm] a_{i,i} [/mm] = -1
b)
Sei B eine ( n [mm] \times [/mm] n )-Matrix und C die Matrix, so dass für jedes i = 1, ..., n gilt: die i-te Zeile von C ist die Summe aller Zeilen von B außer der i-ten.
zeigen sie: det(C) = [mm] (-1)^{n-1}(n-1)det(B). [/mm] |
Hallo :)
a)
Es reicht nicht z.b. eine matrix 4x4 zu erstellen und die det zu berechnen oder?
eine 5x5 matrix mit den selben kriteren müsste eine andere det haben oder?
wie zeige ich es für allgemein nxn?
b)
Wie soll ich das genau zeigen?
mit einem Beispiel kriege ich das hin, jedoch fällt es mir schwer es allgemein zu zeigen...
bitte um Hilfe..
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Hi,
> a)
> Berechnen sie die determinante der reellen n [mm]\times[/mm]
> n-Matrix A = ( [mm]a_{i,j}[/mm] ) mit [mm]a_{i,j}[/mm] = 1 für i [mm]\not=[/mm] j
> und [mm]a_{i,i}[/mm] = -1
>
> b)
> Sei B eine ( n [mm]\times[/mm] n )-Matrix und C die Matrix, so dass
> für jedes i = 1, ..., n gilt: die i-te Zeile von C ist die
> Summe aller Zeilen von B außer der i-ten.
> zeigen sie: det(C) = [mm](-1)^{n-1}(n-1)det(B).[/mm]
> Hallo :)
>
> a)
> Es reicht nicht z.b. eine matrix 4x4 zu erstellen und die
> det zu berechnen oder?
> eine 5x5 matrix mit den selben kriteren müsste eine
> andere det haben oder?
Weiß man soetwas vorher. Eine gute Strategie ist sich die Zeit zu nehmen und für n=1,2,3,4,5 mal die Determinante auszurechnen.
Dann erhält man eben -1,0,4,-16,48 und wohlmöglich eine Idee, die man per vollständige Induktion zeigen kann.
> wie zeige ich es für allgemein nxn?
Schon alleine [mm] $n\in\IN$ [/mm] schreit nach vollständige Induktion.
>
> b)
> Wie soll ich das genau zeigen?
Auch hier hast du wieder eine rekursion, um es für eine nxn Matrix auszurechnen benötigt man eine (n-1)x(n-1) Matrix, und dafür eine (n-2)x(n-2) ...
> mit einem Beispiel kriege ich das hin, jedoch fällt es
> mir schwer es allgemein zu zeigen...
Wie kann die i-te Zeile als Vektor nur eine Zahl (Summe) sein?
>
> bitte um Hilfe..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Do 17.01.2013 | | Autor: | Aguero |
> Hi,
> > a)
> > Berechnen sie die determinante der reellen n [mm]\times[/mm]
> > n-Matrix A = ( [mm]a_{i,j}[/mm] ) mit [mm]a_{i,j}[/mm] = 1 für i [mm]\not=[/mm] j
> > und [mm]a_{i,i}[/mm] = -1
> >
> > b)
> > Sei B eine ( n [mm]\times[/mm] n )-Matrix und C die Matrix, so
> dass
> > für jedes i = 1, ..., n gilt: die i-te Zeile von C ist die
> > Summe aller Zeilen von B außer der i-ten.
> > zeigen sie: det(C) = [mm](-1)^{n-1}(n-1)det(B).[/mm]
> > Hallo :)
> >
> > a)
> > Es reicht nicht z.b. eine matrix 4x4 zu erstellen und
> die
> > det zu berechnen oder?
> > eine 5x5 matrix mit den selben kriteren müsste eine
> > andere det haben oder?
> Weiß man soetwas vorher. Eine gute Strategie ist sich die
> Zeit zu nehmen und für n=1,2,3,4,5 mal die Determinante
> auszurechnen.
> Dann erhält man eben -1,0,4,-16,48 und wohlmöglich eine
> Idee, die man per vollständige Induktion zeigen kann.
> > wie zeige ich es für allgemein nxn?
für die rekursive formel hätte ich [mm] (-1)^{k} [/mm] * x
das passt ja schonmal wegen n=2, n=3 nicht da beide postiv sind.
die det von n=3 auf n=4 ist multipliziert mit -4, danach wird mit -3 multipliziert. sehe da irgendwie kein zusammenhang zwischen n=1 bis n=3
wie sollte diese Induktion genau aussehen?
> Schon alleine [mm]n\in\IN[/mm] schreit nach vollständige
> Induktion.
> >
> > b)
> > Wie soll ich das genau zeigen?
> Auch hier hast du wieder eine rekursion, um es für eine
> nxn Matrix auszurechnen benötigt man eine (n-1)x(n-1)
> Matrix, und dafür eine (n-2)x(n-2) ...
> > mit einem Beispiel kriege ich das hin, jedoch fällt es
> > mir schwer es allgemein zu zeigen...
> Wie kann die i-te Zeile als Vektor nur eine Zahl (Summe)
> sein?
> >
> > bitte um Hilfe..
>
kriege das leider nicht hin :(
echt keine ahnung..
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Viel einfacher - und ganz ohne Induktion: Subtrahiere die zweite Zeile von der ersten, die dritte von der zweiten usw. bis schließlich die letzte von der vorletzten. Von der letzten Zeile abgesehen steht jetzt überall in der Hauptdiagonalen [mm]-2[/mm] und in der ersten Nebendiagonalen [mm]2[/mm], sonst [mm]0[/mm]. Aus den ersten [mm]n-1[/mm] Zeilen kann man je einen Faktor [mm]2[/mm] herausziehen: gibt [mm]2^{n-1}[/mm] vor der Determinante. Jetzt addiert man das [mm]1[/mm]-fache der ersten Zeile zur letzten, das [mm]2[/mm]-fache der zweiten zur letzten usw. bis schließlich das [mm](n-1)[/mm]-fache der vorletzten zur letzten.
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