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Die Unterseite einer verspiegelten Kupel kann durch den Graphen der Funktion [mm] f(x,y)=h-\wurzel{R^2-X^2-y^2} [/mm] beschrieben werden (R=2m,h=6m).Wohin, d.h. in welchen Punkt der x,x-Ebene, wird ein Lichtstrahl reflektiert, der ausgehend vom Punkt [mm] P(x_0,y_0,0)senkrecht [/mm] nach oben gerichtet ist [mm] (x_0=y_0=0,5m)?
[/mm]
Lösungsanfang
ich habe die ableitun nach X und Y gemach
[mm] z=h-\wurzel{R^2-X^2-Y^2}+\bruch{x_0(x-x_0)}{\wurzel{R^2-X^2-Y^2}}+\bruch{y_0(y-y_0)}{\wurzel{R^2-X^2-Y^2}}
[/mm]
Jetz meine Frage wie kommt man von den Ableitungen zu den Werten 0,267261x+0,267261y-z+3,81910
ich habe die Frage in kein anderes Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 So 21.09.2008 | | Autor: | weduwe |
> Die Unterseite einer verspiegelten Kupel kann durch den
> Graphen der Funktion [mm]f(x,y)=h-\wurzel{R^2-X^2-y^2}[/mm]
> beschrieben werden (R=2m,h=6m).Wohin, d.h. in welchen Punkt
> der x,x-Ebene, wird ein Lichtstrahl reflektiert, der
> ausgehend vom Punkt [mm]P(x_0,y_0,0)senkrecht[/mm] nach oben
> gerichtet ist [mm](x_0=y_0=0,5m)?[/mm]
>
> Lösungsanfang
> ich habe die ableitun nach X und Y gemach
>
> [mm]z=h-\wurzel{R^2-X^2-Y^2}+\bruch{x_0(x-x_0)}{\wurzel{R^2-X^2-Y^2}}+\bruch{y_0(y-y_0)}{\wurzel{R^2-X^2-Y^2}}[/mm]
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> Jetz meine Frage wie kommt man von den Ableitungen zu den
> Werten 0,267261x+0,267261y-z+3,81910
>
>
> ich habe die Frage in kein anderes Forum gestellt
>
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[mm]0,267261x+0,267261y-z+3,81910=0[/mm]
ich würde sagen, das ist die tangentialebene im schnittpunkt des strahles mit der kugel.
(ob man die aber braucht oder ob das so schneller zum ziel führt?
2-dimensional ist es schon wild genug.
da bekomme ich für den punkt in der xy-ebene
Q(3.075/ 3.075/0))
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:27 So 21.09.2008 | | Autor: | Christopf |
Kannst du mir zeigen wie du rechnerisch auf die Werte $ 0,267261x+0,267261y-z+3,6861=0 $ gekommen bist
Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:38 So 21.09.2008 | | Autor: | weduwe |
> Kannst du mir zeigen wie du rechnerisch auf die Werte
> [mm]0,267261x+0,267261y-z+3,6861=0[/mm] gekommen bist
>
> Danke
zunächst bestimmst du den schnittpunkt des strahles mit der kugel:
[mm] R(x_0/y_0/h-w) [/mm] mit [mm] w=\sqrt{r^2-x^2_0-y^2_0}
[/mm]
nun bestimmst du den normalenvektor
[mm] \vec{n}=\vektor{\frac{\partial F(x,y,z)}{\partial x}\\...}=\vektor{\frac{x_0}{w}\\\frac{y_0}{w}\\-1}=\vektor{0.267261\\0.267261\\-1}
[/mm]
mit [mm]F(x,y,z) = f(x,y) - z[/mm]
der rest ergibt sich aus der normalvektorform der ebene
(oder du setzt einfach in die ebenengleichung ax + by + cz = d den punkt R ein)
[mm] (\vec{x}-\vec{r})\cdot\vec{n}=0
[/mm]
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