Berechnen einer Norm < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f: [2,3] [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto x^3 [/mm] + 2.
Berechnen Sie [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_2. [/mm] |
Hi,
eine Frage. Mit Berechnen Sie [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_2 [/mm] ist doch gemeint die Spektralnorm zu bestimmen oder???
Aber wie gehe ich dort fort? ich dachte, das geht nur bei Matrizen, denn da gilt ja:
[mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_2 [/mm] = [mm] \wurzel{\lambda_{max} (A^H A) }
[/mm]
wobei [mm] A^H [/mm] die adjungierte (oder hermitesierte) Matrix und [mm] \lambda_{max}(A^H [/mm] A) den betragsmäßig größten Eigenwert des Matrixprodukts [mm] A^H [/mm] A bezeichnet.
Kann mir einer hier vielleicht sagen, wie ich vorgehen muss?
Grüße
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Huhu,
> Aber wie gehe ich dort fort? ich dachte, das geht nur bei
> Matrizen, denn da gilt ja:
korrekt, bzw bei linearen Abbildungen. Die hast du hier offensichtlich nicht.
Daher ist hier wohl auch eher eine p-Norm
[mm] $||f||_p [/mm] = [mm] \left(\integral_{D(f)}|f|^pdx\right)^\bruch{1}{p}$ [/mm] mit $p=2$ gemeint.
MFG,
Gono.
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HI Gono,
also diese Darstellung
$ [mm] ||f||_p [/mm] = [mm] \left(\integral_{D(f)}|f|^pdx\right)^\bruch{1}{p} [/mm] $ mit $ p=2 $
habe ich bei uns im Skript nicht finden können.
ich habe gerade auch nochmal bei Wikipedia nachgeschaut, könnte man es auch so sehen:
[mm] ||f||_p [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n}|f_i|^p)^{\bruch{1}{p}} [/mm] und dann wieder mit p=2??
Aber dann habe ich ja sozusagen die euklidische Norm, oder nicht? Ist es dann einfach:
[mm] ||f||_2 [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n}|f_i|^2)^{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{n}|f_i|^2}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}|x_i^3 +2|^2}
[/mm]
Wie gehts dann hier weiter? Und vor allem, wie verwende ich f:[2,3] [mm] \to \IR???
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Espe |
Dein f ist eine stetige Funktion, die aus dem angegebenen Intervall in die reellen Zahlen abbildet. Was du nun herausgesucht hast, ist eine p-Norm für diskretes f. Für stetige f wirst du, so es denn eine solche p-Norm ist, die Integralversion benutzen müssen. Dabei ist das in der Formel angegebene D(f) der Definitionsbereich (in diesem Falle [2,3]).
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Hi nochmal,
ok ich habe es dann auch mit der anderen Variante versucht, aber auch dort komme ich nicht ganz weiter:
[mm] ||f||_2 [/mm] = [mm] \left(\integral_{D(f)}|f|^2 dx\right)^\bruch{1}{2}= (\integral_{2}^{3}{|x^3 + 2|^2 dx})^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
jetzt weiß ich gerade an dieser Stelle nicht, wie ich mit [mm] |x^3 [/mm] + [mm] 2|^2 [/mm] umgehen muss? Es müsste ja die Euklid-Norm sein, geht das dann so:
[mm] ||f||_2 [/mm] = [mm] \left(\integral_{D(f)}|f|^2 dx\right)^\bruch{1}{2}= (\integral_{2}^{3}{|x^3 + 2|^2 dx})^{\bruch{1}{2}}= (\integral_{2}^{3}{\wurzel{x^6 + 2x^3 + 4} dx})^{\bruch{1}{2}}????
[/mm]
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Hiho,
> geht das dann so:
>
> [mm]||f||_2[/mm] = [mm]\left(\integral_{D(f)}|f|^2 dx\right)^\bruch{1}{2}= (\integral_{2}^{3}{|x^3 + 2|^2 dx})^{\bruch{1}{2}}= (\integral_{2}^{3}{\wurzel{x^6 + 2x^3 + 4} dx})^{\bruch{1}{2}}????[/mm]
>
Naja, fast.... wo kommt die Wurzel im Integral her?
Von Zauberhand erschaffen?
Was kannst du mit dem Betrag im Integral machen?
Und: Du wirst doch wohl nen einfaches Integral ausrechnen können 
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi nochmal,
>
> ok ich habe es dann auch mit der anderen Variante versucht,
> aber auch dort komme ich nicht ganz weiter:
>
> [mm]||f||_2[/mm] = [mm]\left(\integral_{D(f)}|f|^2 dx\right)^\bruch{1}{2}= (\integral_{2}^{3}{|x^3 + 2|^2 dx})^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> jetzt weiß ich gerade an dieser Stelle nicht, wie ich mit
> [mm]|x^3[/mm] + [mm]2|^2[/mm] umgehen muss? Es müsste ja die Euklid-Norm
> sein, geht das dann so:
>
> [mm]||f||_2[/mm] = [mm]\left(\integral_{D(f)}|f|^2 dx\right)^\bruch{1}{2}= (\integral_{2}^{3}{|x^3 + 2|^2 dx})^{\bruch{1}{2}}= (\integral_{2}^{3}{\wurzel{x^6 + 2x^3 + 4} dx})^{\bruch{1}{2}}????[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
"normalerweise" rechnet man $|x^3+2|^2=(x^3+2)^2=x^6+4x^3+4$ mithilfe der binomischen Formel. Es gilt doch $a^2=|a^2|=|a|^2$ für alle $a \in \IR\,.$
Und nein: $|x^3+2|\,$ hat nichts mit der Norm des euklidischen $\IR^2$ zu tun, sondern $|.|\,$ ist hier einfach der Betrag einer reellen Zahl. Verwirr' Dich doch nicht selbst 
P.S.:
Beispiel:
Betrachte $f(x)=x^2$ auf $[1,3]\,.$ Dann ist
$$\|f\|_2=\sqrt{\int_{1}^3\underbrace{|x^2|^2}_{\in \IR_{\ge 0} \text{ für jedes }x \in [1,3]}dx}=\sqrt{\int_1^3 x^4dx}=\sqrt{\left.\frac{x^5}{5}\right|_{x=1}^{x=3}}=\sqrt{\frac{3^5-1}{5}}=\sqrt{242/5}=\sqrt{48,4}\approx7\,.$$
Das einzige, was hier gewöhnungsbedürftig ist, ist die Definition von $\|f\|_2\,.$ Alles andere ist Rechnen mit (Wurzel und) Integration. (Stammfunktion, HDI etc.).
Beste Grüße,
Marcel
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Hi ihr zwei,
ja ok. da hatte ich mich vertan. Kann es aber sein, dass das Ergebnis dann nicht glatt aufgeht?
[mm] ||f||_2=\left(\integral_{D(f)}|f|^2 dx\right)^\bruch{1}{2}
[/mm]
= [mm] (\integral_{2}^{3}{|x^3 + 2|^2 dx})^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
= [mm] (\integral_{2}^{3}{x^6 + 2x^3 + 4 dx})^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
= [mm] ((\bruch{x^7}{7} [/mm] + [mm] x^4 [/mm] + 4x) in den Grenzen von 3 und [mm] 2)^\bruch{1}{2}
[/mm]
= [mm] \wurzel{\bruch{1576}{7}}
[/mm]
Könnt ihr so das Ergebnis bestätigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Di 15.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi ihr zwei,
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> ja ok. da hatte ich mich vertan. Kann es aber sein, dass
> das Ergebnis dann nicht glatt aufgeht?
>
> [mm]||f||_2=\left(\integral_{D(f)}|f|^2 dx\right)^\bruch{1}{2}[/mm]
>
> = [mm](\integral_{2}^{3}{|x^3 + 2|^2 dx})^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> =
> [mm](\integral_{2}^{3}{x^6 + 2x^3 + 4 dx})^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> =
> [mm]((\bruch{x^7}{7}[/mm] + [mm]x^4[/mm] + 4x) in den Grenzen von 3 und
> [mm]2)^\bruch{1}{2}[/mm]
> = [mm]\wurzel{\bruch{1576}{7}}[/mm]
>
> Könnt ihr so das Ergebnis bestätigen?
da ist auf jeden Fall ein Rechenfehler:
[mm] $$\int {(x^6 + 2x^3 + 4) dx} \not= \frac{x^7}{7}+\red{x^4}+4x$$
[/mm]
Anstatt [mm] $x^4$ [/mm] gehört da [mm] $\frac{x^4}{2}$ [/mm] hin, da [mm] $(x^4/2)'=\frac{4}{2}x^3=2x^3$ [/mm] ist.
Beste Grüße,
Marcel
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HI Marcel,
ich glaube nicht, denn ich hatte mich vorher nur vertippt. Es müsste ja so heißen:
[mm] ||f||_2=\left(\integral_{D(f)}|f|^2 dx\right)^\bruch{1}{2} [/mm]
= [mm] (\integral_{2}^{3}{|x^3 + 2|^2 dx})^{\bruch{1}{2}} [/mm]
= [mm] (\integral_{2}^{3}{x^6 + 4x^3 + 4 dx})^{\bruch{1}{2}} [/mm]
= [mm] ((\bruch{x^7}{7} [/mm] + [mm] x^4 [/mm] + [mm] 4x)|_2^3 )^\bruch{1}{2} [/mm]
= [mm] \wurzel{\bruch{1576}{7}} [/mm]
ich hatte aber voher [mm] (\integral_{2}^{3}{x^6 + 2x^3 + 4 dx})^{\bruch{1}{2}} [/mm] aufgeschrieben, was so ja nicht richtig war....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 Di 15.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hi Jaruleking,
> HI Marcel,
>
> ich glaube nicht, denn ich hatte mich vorher nur vertippt.
achso. Ich gestehe, ich war zu fau, es nachzugucken
> Es müsste ja so heißen:
>
> [mm]||f||_2=\left(\integral_{D(f)}|f|^2 dx\right)^\bruch{1}{2}[/mm]
>
> = [mm](\integral_{2}^{3}{|x^3 + 2|^2 dx})^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> = [mm](\integral_{2}^{3}{x^6 + 4x^3 + 4 dx})^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> = [mm]((\bruch{x^7}{7}[/mm] + [mm]x^4[/mm] + [mm]4x)|_2^3 )^\bruch{1}{2}[/mm]
> = [mm]\wurzel{\bruch{1576}{7}}[/mm]
>
> ich hatte aber voher [mm](\integral_{2}^{3}{x^6 + 2x^3 + 4 dx})^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> aufgeschrieben, was so ja nicht richtig war....
Stimmt, ich habe nun auch
[mm] $$\int_2^3 (x^6+4x^3+4)dx=1576/7$$
[/mm]
errechnet, woraus man dann insgesamt auch Dein Ergebnis erhält.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:25 Di 15.06.2010 | | Autor: | jaruleking |
ok, danke für die Hilfe.
Gute Nacht noch.
LG
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