Berechnen von Kurvenintegral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Mi 29.02.2012 | | Autor: | leith |
| Aufgabe | Aufgabenstellung:
Gegeben sei das Kraftfeld [mm] \vec{V}(x,y)=grad({f(x,y)})
[/mm]
mit [mm] f(x,y)=\bruch{x+y}{2x-3y}
[/mm]
Berechnen Sie [mm] \integral_{c}^{} \vec{V}d\vec{r}, [/mm] wobei C gegeben ist über [mm] \vec{r}t=\vektor{t^2 \\ t}mit \in[2,5]
[/mm]
Meine Berechnungen:
1. f(x,y)dx & f(x,y)dy berechnen
Bei mir kommt als gradf(x,y) = [mm] \bruch{1}{(2x-3y)^2}*\vektor{-5y \\ 5x} [/mm] heraus.
2. [mm] \vec{r}t [/mm] in gradf(x,y) einsetzen = [mm] \bruch{1}{(2t^2-3t)^2}*\vektor{-5t \\ 5t^2} [/mm]
3. nun [mm] \vec{r}tdt [/mm] berechnen = [mm] \vektor{2t \\ 1}
[/mm]
4. Dann hab ich [mm] \vec{V}(\vec{r}(t)) [/mm] * [mm] \vec{r}tdt [/mm] berechnet = [mm] \bruch{-5t^2}{(2t^2-3t)^2}
[/mm]
5. hier das Interal von [mm] \integral_{2}^{5}{\bruch{-5t^2}{(2t^2-3t)^2} dt} [/mm] bestimmen |
Nabend liebe Mathematiker,
ich hab ein Problem bei dieser Aufgabe und weiß leider nicht weiter.
Ich vermute das man das Integral mittels "Partialbruch Zerlegung" bestimmen könnte oder durch Subtitution.Leider wüßte ich in beiden fällen nicht wie das berechnet werden kann.Deswegen würde ich mich freuen wenn Ihr mir dabei helfen könntet.
Gruß Leith
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Mi 29.02.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Aufgabenstellung:
>
> Gegeben sei das Kraftfeld [mm]\vec{V}(x,y)=grad({f(x,y)})[/mm]
es handelt sich um ein Gradientenfeld. Das heißt, die Kraft ist ![[]](/images/popup.gif) konservativ. Das Kurvenintegral hängt nur von Anfangs- und Endpunkt ab, nicht aber vom Weg. Die folgende Rechnung kannst Du Dir also sparen.
>
> mit [mm]f(x,y)=\bruch{x+y}{2x-3y}[/mm]
>
>
> Berechnen Sie [mm]\integral_{c}^{} \vec{V}d\vec{r},[/mm] wobei C
> gegeben ist über [mm]\vec{r}t=\vektor{t^2 \\ t}mit \in[2,5][/mm]
>
> Meine Berechnungen:
>
> 1. f(x,y)dx & f(x,y)dy berechnen
>
> Bei mir kommt als gradf(x,y) =
> [mm]\bruch{1}{(2x-3y)^2}*\vektor{-5y \\ 5x}[/mm] heraus.
>
> 2. [mm]\vec{r}t[/mm] in gradf(x,y) einsetzen =
> [mm]\bruch{1}{(2t^2-3t)^2}*\vektor{-5t \\ 5t^2}[/mm]
>
>
> 3. nun [mm]\vec{r}tdt[/mm] berechnen = [mm]\vektor{2t \\ 1}[/mm]
>
>
> 4. Dann hab ich [mm]\vec{V}(\vec{r}(t))[/mm] * [mm]\vec{r}tdt[/mm] berechnet
> = [mm]\bruch{-5t^2}{(2t^2-3t)^2}[/mm]
>
>
> 5. hier das Interal von
> [mm]\integral_{2}^{5}{\bruch{-5t^2}{(2t^2-3t)^2} dt}[/mm] bestimmen
> Nabend liebe Mathematiker,
>
> ich hab ein Problem bei dieser Aufgabe und weiß leider
> nicht weiter.
> Ich vermute das man das Integral mittels "Partialbruch
> Zerlegung" bestimmen könnte oder durch Subtitution.Leider
> wüßte ich in beiden fällen nicht wie das berechnet
> werden kann.Deswegen würde ich mich freuen wenn Ihr mir
> dabei helfen könntet.
>
> Gruß Leith
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Do 01.03.2012 | | Autor: | leith |
Hallo notinX,
Es steht doch in der Aufgabenstellung das [mm] \vec{V}(x,y)=grad({f(x,y)}) [/mm] ist und daher muß ich doch erstmal f(x,y)dx & f(x,y)dy berechnen und dann kann ich erst mittels Nabla-Operator und Kreuzprodukt mit [mm] \vec{V}(x,y) [/mm] ermitteln ob es sich um ein Gradientenfeld handelt oder kann man das schon erkennen an der Aufgabenstellung?Falls ja woher weiß ich das und wie gehe ich dann weiter voran????????
Gruß Leith
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Do 01.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo notinX,
>
> Es steht doch in der Aufgabenstellung das
> [mm]\vec{V}(x,y)=grad({f(x,y)})[/mm] ist und daher muß ich doch
> erstmal f(x,y)dx & f(x,y)dy berechnen und dann kann ich
> erst mittels Nabla-Operator und Kreuzprodukt mit
> [mm]\vec{V}(x,y)[/mm] ermitteln ob es sich um ein Gradientenfeld
> handelt oder kann man das schon erkennen an der
> Aufgabenstellung?
Ja, da steht doch:
...... das Kraftfeld $ [mm] \vec{V}(x,y)=grad({f(x,y)}) [/mm] $ mit $ [mm] f(x,y)=\bruch{x+y}{2x-3y} [/mm] $....
FRED
> Falls ja woher weiß ich das und wie gehe
> ich dann weiter voran????????
>
> Gruß Leith
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Do 01.03.2012 | | Autor: | leith |
Guten Morgen Fred,
heißt das das ich nur noch das integral mit den Grenzen bestimmen muß?
Ist die Aufgabe wirklich so banal????
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Do 01.03.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Guten Morgen Fred,
>
> heißt das das ich nur noch das integral mit den Grenzen
> bestimmen muß?
> Ist die Aufgabe wirklich so banal????
>
im Prinzip musst Du nichtmal ein Integral ausrechnen. Lies Dir nochmal den Wiki-Artikel dazu durch (oder das Skript/Buch).
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Do 01.03.2012 | | Autor: | leith |
Nabend an alle,
kann es sein das ich die 2 & 5 in das [mm] \vec{r}(t) [/mm] einsetzen muß und diese dann ins [mm] \vec{V}(x,y) [/mm] erneut einsetzen muß als Ober,- u. Untergrenzen
Quasi so :
[mm] \bruch{t^2+t}{2*t^2-3t} [/mm] mit der Obergrenze (25,5) und Untergrenze (4,2)
Mit dem Ergebniss [mm] -\bruch{45}{247}????
[/mm]
Gruß Leith
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Do 01.03.2012 | | Autor: | notinX |
> Nabend an alle,
>
> kann es sein das ich die 2 & 5 in das [mm]\vec{r}(t)[/mm] einsetzen
> muß und diese dann ins [mm]\vec{V}(x,y)[/mm] erneut einsetzen muß
> als Ober,- u. Untergrenzen
>
> Quasi so :
>
> [mm]\bruch{t^2+t}{2*t^2-3t}[/mm] mit der Obergrenze (25,5) und
> Untergrenze (4,2)
Wie willst Du denn da Vektoren einsetzen? Der Term hängt weder von x, noch von y ab...
Ich bin mir nicht sicher, ob Du lustiges Zahlenraten machst, oder Dir auch die Theorie anschaust 
Auf Wiki steht geschrieben:
[mm] $\int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \vec [/mm] V [mm] (\vec [/mm] r) [mm] \cdot \mathrm [/mm] d [mm] \vec [/mm] r [mm] =\int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\nabla [/mm] f( [mm] \vec [/mm] r) [mm] \cdot\mathrm [/mm] d [mm] \vec [/mm] r = [mm] f(\vec{r}_2) [/mm] - [mm] f(\vec{r}_1)$
[/mm]
>
> Mit dem Ergebniss [mm]-\bruch{45}{247}????[/mm]
Damit komme ich auf was anderes.
>
> Gruß Leith
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Do 01.03.2012 | | Autor: | leith |
Entschuldige notinX ich will nicht den anscheind erwecken das ich rate aber ich weiß ansonsten wirklich nicht was ich tun soll und wie ich mein [mm] \vec{r}_1 [/mm] und [mm] \vec{r}_2 [/mm] und bestimmen kann und . Wenn Du mir das erklären könntest wäre ich dankbar
Gruß Leith
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Do 01.03.2012 | | Autor: | notinX |
War nicht böse gemeint 
[mm] $\vec{r}_1=\vec{r}(2)$ [/mm] und [mm] $\vec{r}_2=\vec{r}(5)$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Do 01.03.2012 | | Autor: | leith |
Weiß das das nicht böse gemeint war sondern mich zum nachdenken und lesen bringen sollte, was ich ja auch getan hab, aber leider hab ich das nicht so richtig geblickt.Trotzdem danke ich Dir für die Antwort.Kann Du mir nur jemand bestätigen ob [mm] -\bruch{15}{7} [/mm] richtig ist als lösung ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Do 01.03.2012 | | Autor: | notinX |
> Weiß das das nicht böse gemeint war sondern mich zum
> nachdenken und lesen bringen sollte, was ich ja auch getan
> hab, aber leider hab ich das nicht so richtig
> geblickt.Trotzdem danke ich Dir für die Antwort.Kann Du
> mir nur jemand bestätigen ob [mm]-\bruch{15}{7}[/mm] richtig ist
> als lösung ?
Ja, das habe ich auch raus.
Gruß,
notinX
|
|
|
|
