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| Aufgabe | Berechnen Sie [mm] 2^j [/mm] (mod 127) für [mm] 0\le [/mm] j [mm] \le [/mm] 8 und [mm] 3^k [/mm] (mod 127) für 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \9.
[/mm]
Ist 2 bzw. 3 eine Primitivwurzel (mod 127)? |
Hallo,
bei dieser Aufgabe habe ich glaube ich den ersten Teil hinbekommen. Habe das einfach stumpf ausgerechnet, also so:
[mm] 128\equiv 2^0 [/mm] (mod 127)
.
.
.
383 [mm] \equiv 2^8 [/mm] (mod 127)
und
[mm] 128\equiv 3^0 [/mm] (mod 127)
.
.
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[mm] 19810\equiv 3^9(=19683) [/mm] (mod 127)
Ich weiß zwar nicht, ob man das noch einfacher rechnen kann, aber so müsste es ja auch richtig sein, oder??
Beim dem zweiten Teil komme ich gerade nicht weiter.
wenn 2 bzw. 3 eine Primitivwurzel (mod 127) wären, dann müsste ja folgendes gelten:
[mm] 2^{\phi(127)=126)}\equiv [/mm] 1 (mod 127)
[mm] 3^{\phi(127)=126)}\equiv [/mm] 1 (mod 127)
Dabei muss 126 die kleine Zahl sein, womit diese Kongruenz möglich ist.
Nur wie kann ich das jetzt zeigen?? Denn bis zu [mm] 3^{126} [/mm] die Kongruenz auszurechnen, das wäre ja schwachsinn.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 So 26.06.2011 | | Autor: | leduart |
Edit Felix hat meinen Fehler bemerkt [mm] 2^6=64 [/mm] und [mm] 2^7=1mod127
[/mm]
Hallo
wenn du mod 127 rechnest soolten nur zahlen zwischen 0 und 126 vorkommen.
also [mm] 2^6=1mod [/mm] 127 denn [mm] 2^6=127+1deshal 2^7=2mod [/mm] 127 und [mm] 2^8 [/mm] 04mod 127
nachrechnen kannst dus mit [mm] 2^7=256=2*127+2: 2^8=512=4*127 [/mm] +4
aber gerechnet hab ich: [mm] 2^6=1 [/mm] mod127 daraus [mm] 2^7=2*2^6=2*1mod127 [/mm] usw.
[mm] 128=3^0 [/mm] mod 127 ist falsch aber 127 ist keine potenz von 3
[mm] 3^0 [/mm] bis [mm] 3^4 [/mm] sind einfach die Zahlen selbst , also 1,3,9,27,81 mod 127
[mm] 3^5=243=116mod [/mm] 127 [mm] 3^9=198683=154*127+116 [/mm] also [mm] 3^9=116mod [/mm] 127=3^5mod 127
die zahlen sind doch immer die Reste bei division durch 127
wenn [mm] 3^5 [/mm] den Rest 116 lässt dann läßt [mm] 3^6 [/mm] den Rest 3*116 bzw den Rest 94.
wenn du jetzt [mm] 3^5 [/mm] und [mm] 3^9 [/mm] ansiehst kann jemals der Rest 1 rauskommen?
gruss leduart
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:48 So 26.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin leduart,
> wenn du mod 127 rechnest soolten nur zahlen zwischen 0 und
> 126 vorkommen.
> also [mm]2^6=1mod[/mm] 127 denn [mm]2^6=127+1deshal 2^7=2mod[/mm] 127 und
> [mm]2^8[/mm] 04mod 127
> nachrechnen kannst dus mit [mm]2^7=256=2*127+2: 2^8=512=4*127[/mm]
> +4
nicht ganz: [mm] $2^7 [/mm] = 128$ und [mm] $2^8 [/mm] = 256$. Damit ist [mm] $2^7 \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{127}$ [/mm] und [mm] $2^8 \equiv [/mm] 2 [mm] \pmod{127}$.
[/mm]
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 So 26.06.2011 | | Autor: | steve.joke |
ok danke euch, habe es jetzt hinbekommen.
grüße
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