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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Fr 06.07.2007 | | Autor: | Jonez |
| Aufgabe | | Zeige dass f(z) = [mm] e^{\bruch{1}{z}} [/mm] im Nullpunkt eine Wesentliche Singularität hat |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
ich bereite mich gerade auf eine Matheprüfung vor und kapier den Beweis von der oben stehenden Aufgabe nicht.
Der Beweis geht so:
Für beliebiges m [mm] \in \IN [/mm] und z = x > 0 gilt [mm] limes_{x\rightarrow\00+} x^{m} e^{\bruch{1}{x}} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow\infty} e^{\bruch{e^{t}}{t^{m}}} [/mm] = [mm] \infty. [/mm] Also kann [mm] z_{0} [/mm] weder hebbar noch Pol sein.
Was ich nicht versteh, wo auf einmal dieses [mm] x^{m} [/mm] herkommt und warum man annehmen kann, dass z nur Reell und > 0 ist.
Kann mir das jemand ein bisschen erklären?
Danke,
Jonas
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> Zeige dass f(z) = [mm]e^{\bruch{1}{z}}[/mm] im Nullpunkt eine
> Wesentliche Singularität hat
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hi,
>
> ich bereite mich gerade auf eine Matheprüfung vor und
> kapier den Beweis von der oben stehenden Aufgabe nicht.
>
> Der Beweis geht so:
> Für beliebiges m [mm]\in \IN[/mm] und z = x > 0 gilt
> [mm]limes_{x\rightarrow\00+} x^{m} e^{\bruch{1}{x}}[/mm] =
> [mm]\limes_{t\rightarrow\infty} e^{\bruch{e^{t}}{t^{m}}}[/mm] =
> [mm]\infty.[/mm] Also kann [mm]z_{0}[/mm] weder hebbar noch Pol sein.
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> Was ich nicht versteh, wo auf einmal dieses [mm]x^{m}[/mm] herkommt
> und warum man annehmen kann, dass z nur Reell und > 0 ist.
> Kann mir das jemand ein bisschen erklären?
Um zu zeigen, dass $0$ keine Polstelle ist, genügt es zu zeigen, dass es kein [mm] $m\in \IN$ [/mm] gibt, so dass der Limes [mm] $\lim_{z\rightarrow 0}z^m [/mm] f(z)$ existiert (und eigentlich, d.h. [mm] $\in \IC$ [/mm] ist).
Wenn aber für reelles $x$ gilt: [mm] $\lim_{x\rightarrow 0+} x^m [/mm] f(x) [mm] \notin \IC$, [/mm] dann muss sicher auch [mm] $\lim_{z\rightarrow 0}z^m [/mm] f(z) [mm] \notin \IC$ [/mm] sein.
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