Berechnen von Sitzplätzen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Mi 21.06.2006 | | Autor: | moorhuhn |
| Aufgabe | | 2) Ein Konzertsaal hat in der ersten Reihe 30 Plätze und in jeder folgenden Reihe um 3 Plätze mehr. Berechne, wie viele Personen in der 8. Reihe Platz haben, wie viele Personen in den ersten 10 Reihen sitzen und wie viele Reihen der Saal hat, wenn er insgesamt 1170 Personen fasst. |
Hallo, ich habe diese aufgabe schon einmal zu einer Arbeit bekommen, diese habe ich jedoch mit dem Computer berechnet und habe nun keinen schimmer wie das mit Hand/taschenrechner gehen soll
könnt ihr mir bitte helfen? Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Moorhuhn!
Da sich die Anzahl der Sitze pro Reihe immer um einen konstanten Wert von $+ \ 3$ unterscheiden, lässt sich die Platzanzahl in der $n._$ Reihe mittels einer arithmetischen Reihe beschreiben.
Diese ist definiert als: [mm] $a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] a_n+d$ [/mm] (rekursiv) bzw. in expliziter Darstellung als [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] a_1+(n-1)*d$ [/mm] .
Dabei gibt dann [mm] $a_1$ [/mm] die Anzahl der Plätze in der 1. Reihe an; also [mm] $a_1 [/mm] \ = \ 30$ .
Zudem sollte man hier auch die Summenformel für die arithmetische Reihe kennen:
[mm] $s_n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{n}a_k [/mm] \ = \ [mm] a_1+a_2+a_3+...+a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n}{2}*\left(a_1+a_n\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n}{2}*\left[2*a_1+(n-1)*d\right]$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Mi 21.06.2006 | | Autor: | moorhuhn |
kannst du mir den letzen abschnitt der arithmetischen Summerformel $ \ [mm] \bruch{n}{2}\cdot{}\left[2\cdot{}a_1+(n-1)\cdot{}d\right] [/mm] $ genauer erklären, und mir sagen, was ich in die variablen einsetzen muss. Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo moorhuhn!
> kannst du mir den letzen abschnitt der arithmetischen
> Summerformel [mm]\ \bruch{n}{2}\cdot{}\left[2\cdot{}a_1+(n-1)\cdot{}d\right][/mm] genauer erklären
Was ist denn daran unklar? Ist die Darstellung [mm] $s_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n}{2}*\left(a_1+a_n\right)$ [/mm] bekannt bzw. klar?
Setze nun einfach den Ausdruck [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] a_1+(n-1)*d$ [/mm] ein ...
> und mir sagen, was ich in die variablen einsetzen muss.
Wir kennen die Gesamtsitzplätze mit [mm] $s_n [/mm] \ = \ 1170$ , die Anzahl der Plätze in der 1. Reihe mit [mm] $a_1 [/mm] \ = \ 30$ und den Differenzbetrag mit $d \ = \ +3$ .
Nun also in die Summenformel einsetzen und nach $n \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Mi 21.06.2006 | | Autor: | moorhuhn |
hallo Loddar,
also bei mir kommt 5,2 heraus, was nicht sein kann.
was mache ich hier falsch?:
1170= [mm] \bruch{n}{2}*[2*30+(n-1)*8]
[/mm]
2340=n*60+8n-8
39=8n-8
47=8n
n=5,222
mfg moorhuhn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 Do 22.06.2006 | | Autor: | giskard |
Hallo moorhuhn!
> was mache ich hier falsch?:
> 1170= $ [mm] \bruch{n}{2}\cdot{}[2\cdot{}30+(n-1)\cdot{}8] [/mm] $
> 2340=n*60+8n-8
^^^^^^ ^^^^^^^^^ hier hast du die klammer falsch aufgelöst, n muss auch mit (n-1)*8 multipliziert werden.
müsste eigentlich heissen:
2340 = 60n + [mm] 8n^2 [/mm] +8n
damit kannst du dann die pq-formel benutzen:
<=> 0 = n² + 6,5n -292,5
(...)
[mm] n_{1 / 2} [/mm] = 3,25 [mm] \pm \wurzel{303,0625}
[/mm]
wobei nur das positive ergebnis sinn macht. ich hab da jetzt raus:
[mm] n_{1} [/mm] = 20,65
klingt zumindest nicht unrealistisch. entspricht das auch dem, was du mit dem compi berechnet hast?
Giskard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:31 Do 22.06.2006 | | Autor: | Teufel |
Was sucht die 8 immer bei euch als d? d sollte doch 3 und nicht 8 sein...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:52 Do 22.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Giskard!
Abgesehen von meinem falsch vorgelegten Wert von $d_$ hat sich bei Dir ein Vorzeichenfehler eingeschlichen.
Es muss nach dem Ausmultiplizieren heißen:
$2340 \ = \ [mm] 60n+8n^2 [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ 8n$
Bzw. ja nun mit dem richtigen $d \ = \ 3$ :
$2340 \ = \ [mm] 60n+3*n^2 [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ 3n$
Und damit erhalte ich auch ein schönes glattes Ergebnis mit $n \ = \ 20$ .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Teufel |
Arithmetische Folgen:
[mm] a_{1}=a_{1}
[/mm]
[mm] a_{2}=a_{1}+d
[/mm]
[mm] a_{3}=a_{1}+2d
[/mm]
[mm] a_{4}=a_{1}+3d
[/mm]
[mm] a_{5}=a_{1}+4d
[/mm]
...
[mm] a_{n}=a_{1}+(n-1)d
[/mm]
Für dein Fall wäre das:
[mm] a_{1}=30
[/mm]
[mm] a_{2}=30+3
[/mm]
[mm] a_{3}=30+2*3
[/mm]
...
[mm] a_{8}=30+7*3=51
[/mm]
Für die nächste musst du [mm] a_{1}, a_{2}, [/mm] ... [mm] a_{10} [/mm] alle ausrechnen und zusammenaddieren!
Und bei der letzten würde mir auch nichts bessere einfallen als durchzuprobieren :) Die 1170 sitzen ja nicht nur in der letzten Reihe sondern auch in den Reihen davor.
Das heißt du addierst [mm] a_{1}, a_{2}, [/mm] ... bist du auf 1170 kommst.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Völlig richtig ... da habe ich halt "irgendeine" Zahl aus der Aufgabenstellung verwendet ... ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
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