Berechnung 3 Wurzel von z < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe
Gegeben: Z = [mm] -4\wurzel{2}+4\wurzel{2}i
[/mm]
Gesucht [mm] \wurzel[3]{z}
[/mm]
Lösung: Kreisteilungsgleichung
[mm] w_{k}=r(\bruch{cos(\phi+2k\pi}{3})+i(\bruch{sin(\phi+2k\pi}{3})
[/mm]
[mm] w_{0}=\wurzel[3]{z}(\bruch{cos(135°+2*0*180}{3})+i(\bruch{sin(45°+2*0*180}{3})
[/mm]
[mm] w_{1}=\wurzel[3]{z}(\bruch{cos(135°+2*1*180}{3})+i(\bruch{sin(45°+2*1*180}{3})
[/mm]
[mm] w_{2}=\wurzel[3]{z}(\bruch{cos(135°+2*2*180}{3})+i(\bruch{sin(45°+2*2*180}{3})
[/mm]
Ist das richgtig gelöst?
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Hallo!
Nee, da stimmt was nicht.
Zunächst solltest du das besser in Exponentialschreibweise schreiben:
[mm] 8e^{135°i}
[/mm]
Das ist übersichtlicher als deine Schreibweise.
Nun werden komplexe Zahlen multipliziert, indem ihre Beträge multipliziert und ihre Winkel addiert werden. Umgekehrt heißt das, daß du die 3. Wurzel aus dem Betrag und 1/3 des Winkels nehmen mußt. Bei dir ist das 1/3 ziemlich verunglückt.
Das ist alles. Sicher kommen dazu auch alle Winkelargumente, die um Vielfache von 360° davon verschieden sind, aber das sind doch alles die gleichen Zahlen (Merkst du spätestens, wenn du das wieder in die karthesische a+ib-Form bringst)
Weiterhin ist es unüblich, das Grad-System zu verwenden, und das Mischen mit dem radiant-System solltest du vermeiden. (Ich hab jetzt auch mal das Grad-System benutzt, es ist etwas griffiger)
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Hallo
Die Erklärung von Event_Horizon habe ich nicht verstanden.
Mein eigentliches Problkemist ob ich das richtig gerechnet habe das die Winkelwerte für sinus und cosinus verschieden sind. Ich habe die Aufgabe schon mal mit je 13° gelöst
Ich habe jetzt raus:
[mm] W_{0}=(\wurzel{2}+\wurzel{2}i)
[/mm]
[mm] W_{1}=(\wurzel{2}+(-\wurzel{2}+\wurzel{2})i)
[/mm]
[mm] W_{2}=(-\wurzel{2}+1)+(-\wurzel{2}+1)i)
[/mm]
Ist das richtig berechnet
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Hallo!
Es ist unmöglich, daß SIN und COS unterschiedliche Winkel haben.
Du solltest ja wissen, daß man eine komplexe Zahl in der gaußschen Zahlenebene darstellen kann, und daß man die Umrechnung von der karthesischen Form (a+ib) in die polare (Winkel & Betrag) rein geometrisch macht. Der Imaginärteil (Gegenkathete) ergibt sich aus dem Sinus, der Realteil aus dem Cosinus (Ankathete). Der Winkel bleibt aber unter allen Umständen gleich, und deshalb schreibt man abkürzend:
[mm] e^{i\alpha}=\cos(\alpha)+i\sin(\alpha)
[/mm]
Und dann solltest du dringenst wissen, daß man komplexe Zahlen z.B. quadriert, indem man den Betrag quadriert und den Winkel verdoppelt.
$ [mm] W_{0}=(\wurzel{2}+\wurzel{2}i) [/mm] $
Korrekt!
$ [mm] W_{1}=(\wurzel{2}+(-\wurzel{2}+\wurzel{2})i) [/mm] $
Das ist gleich [mm] \sqrt{2} [/mm] und paßt daher nicht.
$ [mm] W_{2}=(-\wurzel{2}+1)+(-\wurzel{2}+1)i) [/mm] $
Nein. [mm] (W_{2})^3=(-2\sqrt{2}+10)-(2\sqrt{2}+10)*i
[/mm]
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