Berechnung Exponentialform < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Di 02.04.2013 | | Autor: | IronMike |
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \bruch{(2-j*2,5)^{4}*(-j)}{(1-j*0,75)}
[/mm]
über die Exponentialform und geben Sie das Ergebnis in arithmetischer Form an! |
Hallo,
ja wieder so eine Aufgabe, wo ich mir denke, ach wäre ich doch ein Schmetterling geworden...
Ich habe mit folgendem begonnen:
[mm] \bruch{2^{4}-j^{5}*2,5^{4}}{1-j*0,75}
[/mm]
Aber das ist bestimmt falsch. Das hat doch sicher auch was mit der e-Funktion zu tun oder?
Liebe Grüße, Falk
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Berechnen Sie
>
> [mm]\bruch{(2-j*2,5)^{4}*(-j)}{(1-j*0,75)}[/mm]
>
> über die Exponentialform und geben Sie das Ergebnis in
> arithmetischer Form an!
> Hallo,
>
> ja wieder so eine Aufgabe, wo ich mir denke, ach wäre ich
> doch ein Schmetterling geworden...
>
> Ich habe mit folgendem begonnen:
>
> [mm]\bruch{2^{4}-j^{5}*2,5^{4}}{1-j*0,75}[/mm]
>
Hat du schon einmal etwas von dem legendären ![[]](/images/popup.gif) Binomischen Lehrsatz gehört? 
Was du da oben gemacht hast, ist natürlich völlig falsch.
> Aber das ist bestimmt falsch. Das hat doch sicher auch was
> mit der e-Funktion zu tun oder?
So ist es: Die Aufgabe ist wohl so gedacht, dass man die einzelnen Faktoren und den Nenner jeweils getrennt in die Exponentialform bringt und dann zunächst mal Potenzgesetze anwendet. Erst das fertige Resultat soll dann zurück in die algebraische Form umgeformt werden.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Di 02.04.2013 | | Autor: | IronMike |
Also ich habe mich nun eine Weile damit beschäftig.
Erst habe ich es mal stur nach den Binomischen Formeln aus multipliziert:
[mm] (2-2,5j)^{2}*(2-2,5j)^{2} [/mm] = [mm] 39,0625j^{4}-125j^{3}+150j^{2}-80j+16 \Leftarrow [/mm] das *(-j)
[mm] \Rightarrow \bruch{39,0625j^{5}-125j^{4}+150j^{3}-80j^{2}+16j}{(1-j*0,75)}
[/mm]
Und dann habe ich in dem Link nachgeschaut und versucht das gelesene anzuwenden:
[mm] (2-2,5j)^{4} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 0}2^{4}+\vektor{4 \\ 1}2^{3}(-2,5)+\vektor{4 \\ 2}2^{2}(-2,5)^{2}\vektor{4 \\ 3}2(-2,5)^{3}+\vektor{4 \\ 4}(-2,5)^{4} [/mm] = [mm] 2^{4}-4*2^{3}*2,5-4*2^{2}*2*2,5^{2}-4*2*3*2,5^{3}-4*2,5^{4}
[/mm]
Glaube aber nicht das es richitg ist, oder?
LG
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Hallo IronMike,
> Also ich habe mich nun eine Weile damit beschäftig.
>
> Erst habe ich es mal stur nach den Binomischen Formeln aus
> multipliziert:
>
> [mm](2-2,5j)^{2}*(2-2,5j)^{2}[/mm] =
> [mm]39,0625j^{4}-125j^{3}+150j^{2}-80j+16 \Leftarrow[/mm] das
> *(-j)
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{39,0625j^{5}-125j^{4}+150j^{3}-80j^{2}+16j}{(1-j*0,75)}[/mm]
>
Da ist ein "-" verlorengegangen:
[mm]\blue{-}\bruch{39,0625j^{5}-125j^{4}+150j^{3}-80j^{2}+16j}{(1-j*0,75)}[/mm]
> Und dann habe ich in dem Link nachgeschaut und versucht das
> gelesene anzuwenden:
>
> [mm](2-2,5j)^{4}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 0}2^{4}+\vektor{4 \\ 1}2^{3}(-2,5)+\vektor{4 \\ 2}2^{2}(-2,5)^{2}\vektor{4 \\ 3}2(-2,5)^{3}+\vektor{4 \\ 4}(-2,5)^{4}[/mm]
> =
> [mm]2^{4}-4*2^{3}*2,5-4*2^{2}*2*2,5^{2}-4*2*3*2,5^{3}-4*2,5^{4}[/mm]
>
Das muss doch so lauten:
[mm](2-2,5j)^{4}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 0}2^{4}+\vektor{4 \\ 1}2^{3}(-2,5\blue{j})+\vektor{4 \\ 2}2^{2}(-2,5\blue{j})^{2}\vektor{4 \\ 3}2(-2,5\blue{j})^{3}+\vektor{4 \\ 4}(-2,5\blue{j})^{4}[/mm]
>
> Glaube aber nicht das es richitg ist, oder?
>
> LG
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Di 02.04.2013 | | Autor: | IronMike |
Ah ok
Und wie geht es nun weiter? Komm damit nicht wirklich zu Recht.
LG
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Hallo IronMike,
> Ah ok
>
> Und wie geht es nun weiter? Komm damit nicht wirklich zu
> Recht.
>
Erweitere
[mm]-\bruch{39,0625j^{5}-125j^{4}+150j^{3}-80j^{2}+16j}{(1-j\cdot{}0,75)}[/mm]
mit dem konjugiert komplexen des Nenners.
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Di 02.04.2013 | | Autor: | IronMike |
Ich hoffe ich habe das richtig verstanden, bin mir aber nicht sicher!
Ausgangsgleichung:
$ [mm] -\bruch{39,0625j^{5}-125j^{4}+150j^{3}-80j^{2}+16j}{(1-j\cdot{}0,75)} [/mm] $
Habe nun folgende Gleichung erhalten:
$ [mm] \bruch{(-39,0625j^{5}-125j^{4}+150j^{3}-80j^{2}+16j)*(1+0,75j)}{(1-0,75j)*(1+0,75j)} [/mm] $
Dann habe ich es ausmultipliziert:
[mm] \bruch{-39,0625j^{5}-29,3j^{6}-125j^{4}-93,75j^{5}+150j^{3}+112,5j^{4}-80j^{2}-60j^{3}+16j+12j^{2}}{1+0,75j-0,75j-0,5625j^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{-29,3j^{6}-132,8125j^{5}-12,5j^{4}+90j^{3}-68j^{2}+16}{1-0,5625j^{2}}
[/mm]
Und schon bin ich wieder am Ende meines Wissens.
Kann das stimmen?
Gruß, Falk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Di 02.04.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo Falk,
jetzt kannst Du weiter zusammenfassen, da Du für die Potenzen von j folgendes einsetzen kannst:
[mm] j^2 = -1 [/mm]
[mm] j^3 = -j [/mm]
[mm] j^4 = 1 [/mm]
[mm] j^5 = j [/mm]
[mm] j^6 = -1 [/mm]
Jetzt siehst Du die Periodizität der Potenzen von j und die kannst Du ausnutzen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Di 02.04.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo falk,
unabhängig davon, ob man sich nun beim Ausmultiplizieren verrechnet hat oder nicht, der Lösungsweg entspricht nicht der Aufgabenstellung, in der ja verlangt wird, über die Exponentialdarstellung zu gehen.
VG,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Di 02.04.2013 | | Autor: | IronMike |
Hmmm...wie sieht die geforderte Form denn dann aus? Sehe langsam echt nicht mehr durch. Muss mir alles irgendwie selber beibringen. Macht einen schon fertig!
Hatte jetzt den Hinweis angewandt:
[mm] j^2 = -1 [/mm]
[mm] j^3 = -j [/mm]
[mm] j^4 = 1 [/mm]
[mm] j^5 = j [/mm]
[mm] j^6 = -1 [/mm]
und komme auf folgendes:
[mm] \bruch{29,3-132,8125j-12,5-90+68+16j}{1,5625}
[/mm]
= [mm] \bruch{84,8-206,8125j}{1,5625}
[/mm]
Aber wenn das gar nicht gefragt ist, dann war es ja eh für die Katz!
MfG
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Hallo,
das ist alles überhaupt nicht zielführend, was du da machst, und es zeigt auch deutlich, dass du offensichtlich keinerlei Vorarbeiten zum Verständnis des Stoffes erbracht hast. Man muss an dieser Stelle wieder einmal ganz klar konstatieren, dass ein Forum eigenes Lernen und Erarbeiten weder ersetzen kann noch will.
Weiter hast du gleich meine erste Antwort nicht aufmerksam durchgelesen. Die Sache mit dem Binomialsatz musste man anmerken, da du ja nicht einfach [mm] (a+b)^n=a^n+b^n [/mm] rechnen kannst, und wir kommentieren dies nicht als fundamentalen Fehler. Dies habe ich getan, das war aber nicht als Lösungshinweis gemeint.
Einen solchen habe ich dir gegeben, aber du hast ihn bisher ignoriert: es ist mit
[mm] \phi:=arg(z)
[/mm]
r:=abs(z)
bekanntlich
[mm] z=r*(cos(\phi)+j*sin(\phi))=r*e^{j*\phi}
[/mm]
Und mit letzterer Darstellung sollst du ja ganz offensichtlich rechnen. Wenn sie dir bekannt ist, dann versuche das jetzt, sonst arbeite dich in die Materie ein, das ist dein Job, nicht unserer!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Mi 03.04.2013 | | Autor: | IronMike |
So...Ich habe mich nun seit gestern Abend damit intensiv beschäftig und habe folgende drei Seiten zur Hilfe genommen:
Skript 1
Skript 2
Skript 3
Die Ausgangsgleichung war ja:
$ [mm] \bruch{(2-j\cdot{}2,5)^{4}\cdot{}(-j)}{(1-j\cdot{}0,75)} [/mm] $
Diese ist ja nun in Kartesischer Form dargestellt. Ich soll ja nun aber in Exponentialform rechnen. Da habe ich im Skript 1 Seite 2 folgende Formel gefunden:
[mm] \bruch{z_{1}}{z_{2}} [/mm] = [mm] \bruch{r_{1}e^{i\phi1}}{r_{2}e^{i\phi2}} [/mm] = [mm] \bruch{r_{1}}{r_{2}} e^{\phi1-\phi2}
[/mm]
Im Skript 3 habe ich dann einige Rechenbeispiele gefunden und mich dran versucht:
Beim Ausmultiplizieren der Ausgangsgleichung kam ich auf folgendes:
[mm] \bruch{84,8-206,8125j}{1-0,5625j^{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow r_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{84,8^{2}+(-206,8125)^{2}} \approx [/mm] 223,52
[mm] \phi_{1} [/mm] = [mm] arctan(\bruch{-206,8125}{84,8})\approx [/mm] -67,7°+360° = 292,29°
[mm] \Rightarrow r_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{1^{2}+(-0,5625)^{2}} \approx [/mm] 1,15
[mm] \phi_{2} [/mm] = [mm] arctan(\bruch{-0,5625}{1})\approx [/mm] -29,36°+360° = 330,64°
[mm] \bruch{z_{1}}{z_{2}} [/mm] = [mm] \bruch{r_{1}e^{i\phi1}}{r_{2}e^{i\phi2}} [/mm] = [mm] \bruch{223,52*e^{j292,29°}}{1,15*e^{j330,64°}}
[/mm]
Stimmt das denn jetzt so?
MfG
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Hallo Falk!
> Die Ausgangsgleichung war ja:
Es gab nur einen Ausgangsterm, keine Gleichung!
> [mm]\bruch{(2-j\cdot{}2,5)^{4}\cdot{}(-j)}{(1-j\cdot{}0,75)}[/mm]
>
> Diese ist ja nun in Kartesischer Form dargestellt. Ich soll
> ja nun aber in Exponentialform rechnen. Da habe ich im
> Skript 1 Seite 2 folgende Formel gefunden:
>
> [mm]\bruch{z_{1}}{z_{2}}[/mm] = [mm]\bruch{r_{1}e^{i\phi1}}{r_{2}e^{i\phi2}}[/mm] = [mm]\bruch{r_{1}}{r_{2}} e^{\phi1-\phi2}[/mm]
Hier ist beim letzten Term jeweils das $j_$ im Exponenten verloren gegangen.
> Beim Ausmultiplizieren der Ausgangsgleichung kam ich auf
> folgendes:
Siehe oben Anmerkung zu Ausgangs"gleichung".
Zudem ist es völlig sinnbefreit, diesen Term zunächst auszumultiplizieren.
Bilde von jedem Einzelterm die Exponentialdarstellung. Denn genau damit lässt sich das mehr als aufwändige Ausmultiplizieren drastisch reduzieren.
Also:
[mm] $z_1 [/mm] \ = \ 2-2{,}5*j \ = \ ... \ * \ [mm] e^{j* \ ...}$
[/mm]
Damit gilt dann: [mm] $z_1^4 [/mm] \ = \ [mm] (2-2{,}5*j)^4 [/mm] \ = \ ... \ * \ [mm] e^{j* \ ...}$
[/mm]
[mm] $z_2 [/mm] \ = \ -j \ = \ ... \ * \ [mm] e^{j* \ ...}$
[/mm]
[mm] $z_3 [/mm] \ = \ 1-0{,}75*j \ = \ ... \ * \ [mm] e^{j* \ ...}$
[/mm]
Dies dann einsetzen in den Ausgangsterm / Ausgangsbruch und zusammenfassen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Mi 03.04.2013 | | Autor: | IronMike |
Aha ok, verstehe.
Habe das nun so versucht:
$ [mm] \bruch{(2-j\cdot{}2,5)^{4}\cdot{}(-j)}{(1-j\cdot{}0,75)} [/mm] $
[mm] z_{1}=2-2,5j
[/mm]
[mm] r_{1}= \wurzel{2^{2}+(-2,5)^{2}}=3,2
[/mm]
[mm] \phi_{1}= [/mm] arctan [mm] (\bruch{-2,5}{2}) [/mm] = -51,34°+360°=308,66°
[mm] z_{2}=-j
[/mm]
[mm] r_{2}= \wurzel{0^{2}+(-1)^{2}}=1
[/mm]
[mm] z_{3}=1-0,75j
[/mm]
[mm] r_{3}= \wurzel{1^{2}+(-0,75)^{2}}=1,25
[/mm]
[mm] \phi_{3}= [/mm] arctan [mm] (\bruch{-0,75}{1}) [/mm] = -36,87°+360°=323,13°
[mm] z_{1} [/mm] = [mm] 3,2*e^{j308,66°}
[/mm]
[mm] z_{2} [/mm] = [mm] 1*e^{j}
[/mm]
[mm] z_{3} [/mm] = [mm] 1,25*e^{j323,13°}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{3,2*e^{j308,66°}+1*e^{j}}{1,25*e^{j323,13°}}
[/mm]
Stimmt das jetzt so?
MfG, Falk
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Hallo IronMike,
> Aha ok, verstehe.
>
> Habe das nun so versucht:
>
> [mm]\bruch{(2-j\cdot{}2,5)^{4}\cdot{}(-j)}{(1-j\cdot{}0,75)}[/mm]
>
> [mm]z_{1}=2-2,5j[/mm]
>
> [mm]r_{1}= \wurzel{2^{2}+(-2,5)^{2}}=3,2[/mm]
> [mm]\phi_{1}=[/mm] arctan
> [mm](\bruch{-2,5}{2})[/mm] = -51,34°+360°=308,66°
>
> [mm]z_{2}=-j[/mm]
>
> [mm]r_{2}= \wurzel{0^{2}+(-1)^{2}}=1[/mm]
>
> [mm]z_{3}=1-0,75j[/mm]
>
> [mm]r_{3}= \wurzel{1^{2}+(-0,75)^{2}}=1,25[/mm]
> [mm]\phi_{3}=[/mm] arctan
> [mm](\bruch{-0,75}{1})[/mm] = -36,87°+360°=323,13°
>
> [mm]z_{1}[/mm] = [mm]3,2*e^{j308,66°}[/mm]
> [mm]z_{2}[/mm] = [mm]1*e^{j}[/mm]
> [mm]z_{3}[/mm] = [mm]1,25*e^{j323,13°}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{3,2*e^{j308,66°}+1*e^{j}}{1,25*e^{j323,13°}}[/mm]
>
[mm]z_{1}[/mm] mußt Du in die 4.Potenz erheben.
Die Exponentialform von [mm]z_{2}[/mm] stimmt nicht.
> Stimmt das jetzt so?
>
> MfG, Falk
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Mi 03.04.2013 | | Autor: | IronMike |
Habe nun folgendes raus:
[mm] z_{1}=16-39,0625j
[/mm]
[mm] r_{1}=\wurzel{16^{2}+(-39,0625)^{2}}=42,21
[/mm]
[mm] \phi_{1}=arctan (\bruch{-39,0625}{16})=-67,73°+360°=292,27°
[/mm]
bei [mm] z_{2} [/mm] kann ich [mm] \phi [/mm] nicht erechnen, da r=0 ist oder seh ich das jetzt falsch?
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Mi 03.04.2013 | | Autor: | Infinit |
Sorry, aber das siehst Du falsch.
Eine kartesische Koordinate von -j hat eine Länge von 1 und einen Winkel von 270 Grad wie Du sofort aus der Gaußschen Zahlenebene erkennen kannst.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Mi 03.04.2013 | | Autor: | IronMike |
Achso ok. Habe ich mir gleich notiert.
Also komme ich nun auf folgendes:
[mm] z_{1} [/mm] = [mm] 42,21*e^{j292,27°}
[/mm]
[mm] z_{2} [/mm] = [mm] 1*e^{j270}
[/mm]
[mm] z_{3} [/mm] = [mm] 1,25*e^{j323,13°}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{42,21*e^{j292,27°}+1*e^{j270°}}{1,25*e^{j323,13°}} [/mm]
Stimmt das nun überein?
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Mi 03.04.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
die 4. Potenz von Deiner ersten komplexen Zahl kann nicht stimmen, der sich ergebende Radius muss, das überschlage ich mal schnell im Kopf, bei einem Wert von um die 100 liegen.
Außerdem hat sich auf wundersame Weise der Multiplikationspunkt in ein Additionszeichen verwandelt.
Gebe doch als erstes mal an, was Du in Exponentialform für den Term ( 2 - j2,5) rausbekommst. Der Radius muss etwas größer sein als 3 und der Winkel muss im vierten Quadranten liegen.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mi 03.04.2013 | | Autor: | IronMike |
Wo ich nur mit dem Term ( 2 - j2,5) gerechnet habe, kam ich auf folgendes:
[mm] z_{1}=2-2,5j
[/mm]
[mm] r_{1}= \wurzel{2^{2}+(-2,5)^{2}}=3,2
[/mm]
[mm] \phi_{1}= [/mm] arctan [mm] (\bruch{-2,5}{2}) [/mm] = -51,34°+360°=308,66°
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Mi 03.04.2013 | | Autor: | Infinit |
Prima, das bekomme ich auch raus. Wenn Du nun die vierte Potenz von diesem Ausdruck nimmst, dann wird der Radius in die vierte Potenz erhoben und der Winkel vervierfacht sich. Dabei drehst Du zwar über die 360 Grad hinaus, das ist aber nicht schlimm, der Winkel wird einfach modulo 360 Grad angegeben.
Rechne das mal aus und Du wirst sehen, dass da etwas anderes rauskommt als in Deinem vorhergehenden Thead.
VG,
Infinit
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mi 03.04.2013 | | Autor: | IronMike |
Ah ok, also dann komme ich auf folgendes:
[mm] z_{1} [/mm] = [mm] 104,8576*e^{j360°} [/mm]
Hoffe das stimmt.
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Mi 03.04.2013 | | Autor: | Infinit |
Der Radius ist okay, der Winkel stimmt aber nicht. Was gibt denn 308,6*4-1080? Ich lande da bei ungefähr 154 Grad.
VG,
Infinit
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mi 03.04.2013 | | Autor: | IronMike |
Achsooooo....Hmmm
Aber wieso " - 1080 " ?
Wie kommt man jetzt darauf? Außer 3*360°
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Mi 03.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja du ziehst so oft 360° ab, bis du unter 360 bist.
(dein radius ist auch nur ungefähr richtig, es ist ja richtig
[mm] (2,5^2+2^2)^2=...
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mi 03.04.2013 | | Autor: | IronMike |
Ah verstehe.
Also lautet das Endergebnis nun:
[mm] z_{1} [/mm] = [mm] 104,8576*e^{j154,4°}
[/mm]
[mm] z_{2} [/mm] = [mm] 1*e^{j270}
[/mm]
[mm] z_{3} [/mm] = [mm] 1,25*e^{j323,13°} [/mm]
Und damit müsste ich fertig sein, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Mi 03.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
noch den kleinen Fehler bei r von z1 beseitigen, dann den Bruch ausrechnen, dann wieder in die Form a+jb verwandeln.
Gann erst bist du fertig
Gruss leduart
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