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| Aufgabe | Geben Sie nachstehende Potenzen in kartesische Koordinaten an.
a) z= (1-i)^(21) |
Hallo, ich habe den obenstehenden Ausdruck bereits bis zur Form
[mm] (\wurzel{2})^{21} e^{\bruch{147}{4}\pi i} [/mm] umgeformt.
Allerdings wurde die Lösung noch weiter vereinfacht auf die Form:
-1024 + 1024i
Leider kann ich nicht nachvollziehen, wie man auf diese Form kommt.
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Huhu,
vereinfache das ganze doch erstmal zu [mm] $1024*\sqrt{2}e^{\bruch{3}{4}\pi i}$
[/mm]
Die 1024 als Faktor können wir ja erstmal vernachlässigen.
Und nun finde ein Darstellung von [mm] $\sqrt{2}e^{\bruch{3}{4}\pi i}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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Also [mm] \sqrt{2}e^{\bruch{3}{4}\pi i} [/mm] könnte man ja umschreiben zu [mm] \sqrt{2} [/mm] * (cos [mm] (\bruch{3}{4}\pi) [/mm] + i * sin [mm] (\bruch{3}{4}\pi) [/mm] ) oder?
Aber cos [mm] (\bruch{3}{4}\pi) [/mm] und sin [mm] (\bruch{3}{4}\pi) [/mm] ergeben keine Gerade Zahl, weshalb ich so nur eine umständlichere Beschreibung erhalte...
Dürft ich aufgrund der Eigenschaft von sin und cos, die ja gerade um 1/2 [mm] \pi [/mm] verschoben sind auch schreiben [mm] \sqrt{2} [/mm] * (cos [mm] (\pi) [/mm] + i * sin [mm] (\bruch{1}{2}\pi) [/mm] )...d.h. bei der einen Funktion [mm] \bruch{1}{2}\pi [/mm] abziehen und dafür bei der anderen dazuzählen?
Dann würde ich nämlich ein gerades Ergebnis bekommen (-1 + i) welches mich dann zu meinem Endergebnis -1024 + 1024i führen würde... ich weiß aber nicht ob das oben beschriebene erlaubt ist...
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Also ich find [mm] $-\bruch{1}{\sqrt{2}}$ [/mm] und [mm] $\bruch{1}{\sqrt{2}}$ [/mm] eigentlich sehr schön durch den Faktor davor... du nicht?
MFG,
Gono.
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Ahhh... cos [mm] (\bruch{3}{4}\pi) [/mm] ergibt [mm] -\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Dann erhalte ich also [mm] \wurzel{2} [/mm] ( [mm] -\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] i ) welches dann mit den 1024 zu 1024 (-1 + i) führt.
und dies dann zu dem Endergebnis -1024 + 1024i :)
Vielen Dank für deine Hilfe, hast mir sehr geholfen :)
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Huhu,
korrekt erkannt.
Der Tip von Fred ist aber vermutlich effektiver und sollte man sich daher merken.
MFG,
Gono.
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Ich habe nochmal eine Frage zu dem obersten Schritt...
Also die Urspungsgleichung lautete ja z= (1-i)^21 und mein |z| ist [mm] \wurzel{2}
[/mm]
aber bei der Berechnung meines [mm] \phi [/mm] bekomme ich nun nicht mehr [mm] \bruch{7}{4} \pi [/mm] heraus... sonder arctan(-1) = -0.785...
ich habe aber gestern noch die Form [mm] \wurzel{2} [/mm] * [mm] e^{\bruch{7}{4}\pi i} [/mm] herausbekommen... d.h. mein [mm] \phi [/mm] wäre [mm] \bruch{7}{4} \pi....
[/mm]
wo ist mein Denkfehler.... stehe irgendwie auf dem Schlauch :(
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Huhu,
rechne mal nicht immer mit Dezimalzahlen, sondern mit korrekten Werten, dann siehst du es auch sofort!
$arctan(-1) = [mm] -\bruch{1}{4}\pi$
[/mm]
Du willst aber auf [mm] $\bruch{7}{4}\pi$ [/mm] kommen.
Nun gilt aber [mm] $e^{ -\bruch{1}{4}\pi i} [/mm] = [mm] e^{ \bruch{7}{4}\pi i}$.
[/mm]
Musst dir nur noch beantworten, warum 
MFG,
Gono.
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Ahhh, klar, weil sinus, bzw. kosinus immer [mm] \pi [/mm] - periodische werte haben... daher ist [mm] cos(-\bruch{1}{4}\pi) [/mm] das selbe wie cos [mm] (\bruch{7}{4}\pi)...
[/mm]
aber warum wandelt man dies um? Möchte man eine positive Zahl in der Potenz haben?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:00 Sa 20.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sie sind [mm] 2\pi [/mm] periodisch! deshalb schreibt man den winkel immer am besten gleich als [mm] \phi+k*2\pi k\in\IZ, [/mm] da hilft insbesondere beim Wurzelziehen!
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:10 Fr 19.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie nachstehende Potenzen in kartesische Koordinaten
> an.
> a) z= (1-i)^(21)
> Hallo, ich habe den obenstehenden Ausdruck bereits bis zur
> Form
> [mm](\wurzel{2})^{21} e^{\bruch{147}{4}\pi i}[/mm] umgeformt.
>
> Allerdings wurde die Lösung noch weiter vereinfacht auf
> die Form:
> -1024 + 1024i
>
> Leider kann ich nicht nachvollziehen, wie man auf diese
> Form kommt.
Es ist [mm] $(1-i)^2=-2i$
[/mm]
Überzeuge Dich damit von: [mm] $(1-i)^{20}=-2^{10}$
[/mm]
Jetzt nochmal mit 1-i mult.
FRED
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Dankeschön, das ist echt auch ein cleverer Weg ;)
Aber irgendwie habe ich ein Vorzeichenproblem
Also (1-i)^21 = (1-i)^20 * (1-i) = -2^10 i^10 * (1-i) ... verstehen nicht genau was hinter der -2^10 mit dem i passiert, denn bei dir ist es nicht mehr da....
denn ich bekomme dann heraus -1024 * (-1) * (1-i) = 1024- 1024i .... wodurch mein Ergebnis um -1 falsch ist :(
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Hallo LittleStudi,
> Dankeschön, das ist echt auch ein cleverer Weg ;)
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> Aber irgendwie habe ich ein Vorzeichenproblem
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> Also (1-i)^21 = (1-i)^20 * (1-i) = -2^10 i^10 * (1-i) ...
Hier muss es doch heissen:
[mm]\left(1-i\right)^{21}=\left(1-i\right)^{20}*\left(1-i\right)=\left(-2i\right)^{10}*\left(1-i\right)=\left(-2\right)^{10}*i^{10}*\left(1-i\right)[/mm]
Und da [mm]i^{2}=-1[/mm] gilt auch [mm]i^{10}=-1[/mm]
Daher steht dann da:
[mm]\left(1-i\right)^{21}=\left(-2\right)^{10}*i^{10}*\left(1-i\right)=\left(-2\right)^{10}*\left(-1\right)*\left(1-i\right)[/mm]
> verstehen nicht genau was hinter der -2^10 mit dem i
> passiert, denn bei dir ist es nicht mehr da....
>
> denn ich bekomme dann heraus -1024 * (-1) * (1-i) = 1024-
> 1024i .... wodurch mein Ergebnis um -1 falsch ist :(
Gruss
MathePower
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