Berechnung Konvergenzradius < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
morgen ist meine erste Matheklausur an der FH, und ich bin grad völlig am Ende weil ich soeben gemerkt habe, dass ich garnichts weiß!
Ich hänge grade in meinem Skript beim Konvergenzradius fest...
ich habe folgende Formeln stehen:
r= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}
[/mm]
[mm] r=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a_{n}}}
[/mm]
So weit so gut... ich weiß jetzt nur leider nichts mit den Formeln anzufangen :-(
Wer kann mir bitte (leicht verständlich) erklären wie ich diese Formel bei einer x-beliebigen Funktion - z.B. die hier [mm] f(x)=x*e^{x} [/mm] - den Konvergenzradius ausrechnen kann?
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Mi 01.02.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo TorstenBB!
Es gilt doch:
$f(x) = [mm] xe^x [/mm] = x [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} [/mm] = [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n!} [/mm] = [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n x^n$
[/mm]
mit
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{(n-1)!}$.
[/mm]
Wie groß ist also $r$? Weißt du es jetzt? (Du musst es nur in die Formel(n) einsetzen...)
Liebe Grüße
Stefan
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Danke für deine schnelle Antwort... aber leider hat's bei mir immer noch nicht "klick" gemacht. :-(
Ich muss zugeben, dass ich mich mit dem Limes gedöns schwer tue, da wir das in der "normalen" Schule eher stiefmütterlich behandelt haben und es jetzt in der FH als Grundwissen vorausgesetzt wird.
Mein Problem ist nach wie vor, dass ich nicht weiß wie ich die Ausgangsformel einsetzten soll, da bei r= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n}}{a_{n+1}} [/mm] kein f(x) oder ähnlichers drin vorkommt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Mi 01.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Torsten
Von Konvergenzradius spricht man NUR bei Funktionen, die durch eine Reihe gegeben sind, oder in einem gewissen Gebiet durch eine Reihe dargestellt werden. WENN f(x) eine Reihendarstellung hat, dann kannst du den Konvergenzradius bestimmen. da [mm] e^{x} [/mm] eine Reihendarstellung hat, kannst du einen Konvergenzradius DER REIHE nicht der Fkt. bestimmen, es sei denn, die fkt. ist durch die Reihe definiert!
Beispiel [mm] f(x)=\bruch{1}{1-x}
[/mm]
definiert für alle x [mm] \ne [/mm] 0. es gilt auch [mm] S(x)=\summe_{i=1}^{infty}x^{i}=\bruch{1}{1-x} [/mm] für x<1
Die Reihe hat den Konvergenzradius 1, f(x) selbst hat keinen "Konvergenzradius" aber innerhalb des Konvergenzradius stimmem f(x) und S(x) überein.
Gruss leduart
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Sorry, ich raff's immernoch nicht! *rotwerd*
Muss ich die Funktion als Reihe darstellen (z.B. Taylorreihe) um den Radius rauszurechnen?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Mi 01.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Thorsten
Noch mal: FUNKTIONEN HABEN KEINEN KONVERGENZRADIUS!
Man kann manchmal Funktionen durch unendliche Reihen darstellen.
Diese Reihen haben dann einen Konvergenzradius. INNERHALB des Konvergenzradius stimmen dann Funktio und Reihe überein. Dann spricht man vom Konvergenzradius der Reihe!! nicht der Funktion.
Eine Funktion kann viele verschiedene Reihendarstellungen (z.Bsp Taylorreihen um verschiedene Punkte) haben. verschiedene Reihen zur selben Funktion haben dann oft auch verschiedene Konvergenzradien! Nochmal ein Hinweis, dass es sinnlos ist, vom Konvergenzradius einer Funktion zu reden.
NUR wenn eine Fkt durch eine Reihe DEFINIERT ist, gehört der Konvergenzradius zu dieser so definierten Funktion.
Gruss leduart
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| Aufgabe | Entwickeln Sie die Funktion f(x) in eine Taylorreihe in dem Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=2.
[/mm]
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe.
[mm] f(x)=x*e^{x} [/mm] |
Okay, das mit den "Funktionen haben keinen Radius" habe ich jetzt verstanden... HOFFENTLCIH!
Ich habe oben mal eine alte Prüfungsaufgabe abgetippt...
für die Taylorreihe bekomme ich folgendes raus:
[mm] f(x)=2+e^{2}*(x-2)+\bruch{e^{2}}{2!}*(x-2)^{2}+\bruch{e^{2}}{3!}*(x-2)^{3}+...
[/mm]
hoffe das passt.
Beim Rest: NO IDEA
Wäre schön wenn einer in etwa so schreiben kann (schnall's sonst nicht):
Du hast die Formel xy... die musst du ... damit du ... und dann kannst du, indem du.... DEN RADIUS bestimmen *juhu*
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Mi 01.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Torsten
[mm] f(2)=2*e^{2}
[/mm]
[mm] f'(2)=3*e^{2}
[/mm]
[mm] f''(2)=4*e^{2}
[/mm]
[mm] f^{(n)}=(n+2)*e^{2}
[/mm]
Kannst du jetzt das richtige Taylorpolynom?
dann nimm den Koeffizienten [mm] a_{n} [/mm] von [mm] (x-2)^{n} [/mm] und den nächsten. Dividier sie! Bilde n gegen Infty! Dann hast du den Konvergenzradius (der darf auch [mm] \infty [/mm] sein)
Gruss leduart
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