Berechnung Schnittpunkt < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie den Schnittpunkt folgender Geraden:
[mm] g:\vec{x}= \vektor{6 \\ 0 \\ 6}+ [/mm] t* [mm] \vektor{-3 \\ 6 \\ -6}
[/mm]
[mm] k:\vec{x}= \vektor{0 \\ 0 \\ 3}+ [/mm] s* [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ -3} [/mm] |
Hallo Leute,
folgendes habe ich gerechnet; ist das soweit richtig und was ist der Schnittpunkt?
[mm] \vektor{6 \\ 0 \\ 6}+ [/mm] t* [mm] \vektor{-3 \\ 6 \\ -6}=\vektor{0 \\ 0 \\ 3}+ [/mm] s* [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ -3}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] t* [mm] \vektor{-3 \\ 6 \\ -6}-s* \vektor{3 \\ 3 \\ -3}=\vektor{-6 \\ 0 \\ -3}
[/mm]
I. -3t-3s=-6
II. 6t-3s=0
III. -6t+3s=-3
[mm] \gdw [/mm] I. t=2-s
[mm] \gdw [/mm] II. t=0,5s
I.=II.
2-s=0,5s
[mm] \gdw s=\bruch{-4}{3}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] III. t=0,5-0,5s
II.=III.
0,5s=0,5-0,5s
[mm] \gdw [/mm] s=0,5
[mm] 0,5=\bruch{-4}{3} [/mm]
Ist das so richtig? Was ist der Schnittpunkt?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 So 12.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Berechnen Sie den Schnittpunkt folgender Geraden:
> [mm]g:\vec{x}= \vektor{6 \\ 0 \\ 6}+[/mm] t* [mm]\vektor{-3 \\ 6 \\ -6}[/mm]
>
> [mm]k:\vec{x}= \vektor{0 \\ 0 \\ 3}+[/mm] s* [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ -3}[/mm]
>
> Hallo Leute,
>
> folgendes habe ich gerechnet; ist das soweit richtig und
> was ist der Schnittpunkt?
>
> [mm]\vektor{6 \\ 0 \\ 6}+[/mm] t* [mm]\vektor{-3 \\ 6 \\ -6}=\vektor{0 \\ 0 \\ 3}+[/mm]
> s* [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ -3}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] t* [mm]\vektor{-3 \\ 6 \\ -6}-s* \vektor{3 \\ 3 \\ -3}=\vektor{-6 \\ 0 \\ -3}[/mm]
>
> I. -3t-3s=-6
> II. 6t-3s=0
> III. -6t+3s=-3
>
> [mm]\gdw[/mm] I. t=2-s
> [mm]\gdw[/mm] II. t=0,5s
>
> I.=II.
> 2-s=0,5s
> [mm]\gdw s=\bruch{-4}{3}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] III. t=0,5-0,5s
>
> II.=III.
> 0,5s=0,5-0,5s
> [mm]\gdw[/mm] s=0,5
>
> [mm]0,5=\bruch{-4}{3}[/mm]
[mm] 0,5=-\frac{4}{3} [/mm] ist aber eine falsche Aussage
Du hast dich irgendwo verrechnet, das Gleichungssystem
[mm] \begin{vmatrix}-3t-3s=-6\\6t-3s=0\\-6t+3s=-3\end{vmatrix}
[/mm]
hat die Lösungen [mm] s=\frac{4}{3} [/mm] und [mm] t=\frac{2}{3}
[/mm]
>
> Ist das so richtig? Was ist der Schnittpunkt?
> LG
Setze nun, wie in der anderen Antwort schon geschrieben, die Werte für r oder s (eines genügt) in die entsprechnende Geradengleichung ein. Wenn du das ganze dann vereinfachst, bekommst du den Ortsvektor des Schnittpunktes.
Ein kleiner Tipp noch. Gewöhn dir an, Gleichungssysteme mit dem  Gauß-Algorithmus zu lösen, erstens hast du dann eine Struktur und zweitens brauchst du dieses Verfahren spätestens dann, wenn ihr Ebenen und Geraden schneidet, dann hast du nämlich drei Gleichungen mit drei Variablen.
Marius
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| Aufgabe | | Berechnen Sie den Schnittpunkt. |
Ich habe das mal anders gerechnet:
[mm] \vektor{6 \\ 0 \\ 6}+t*\vektor{-3 \\ 6 \\ -6}=\vektor{0 \\ 0 \\ 3}+s*\vektor{3 \\ 3 \\ -3}
[/mm]
I. 6-3t=3s
II. 6t=3s
III. 6-6t=3-3s
[mm] \gdw [/mm] I. t=-s+2
[mm] \gdw [/mm] II. t=0,5s
I.=II.
-s+2=0,5s
[mm] \gdw s=\bruch{4}{3}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] III. t=0,5+0,5s
I.=III.
-s+2=0,5+0,5s
[mm] \gdw [/mm] s=1
Wie muss ich jetzt weitermachen? Mich irritiert es, dass ich für s einmal [mm] \bruch{4}{3} [/mm] und einmal 1 rausbekommen habe. Ist das ein Widerspruch?? Wie wird der Schnittpunkt berechnet?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 So 12.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Berechnen Sie den Schnittpunkt.
> Ich habe das mal anders gerechnet:
>
> [mm]\vektor{6 \\ 0 \\ 6}+t*\vektor{-3 \\ 6 \\ -6}=\vektor{0 \\ 0 \\ 3}+s*\vektor{3 \\ 3 \\ -3}[/mm]
>
> I. 6-3t=3s
> II. 6t=3s
> III. 6-6t=3-3s
>
> [mm]\gdw[/mm] I. t=-s+2
> [mm]\gdw[/mm] II. t=0,5s
>
> I.=II.
> -s+2=0,5s
> [mm]\gdw s=\bruch{4}{3}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] III. t=0,5+0,5s
> I.=III.
> -s+2=0,5+0,5s
> [mm]\gdw[/mm] s=1
Du nimms aber auch den allerkompliziertesten Weg, um dieses Gleichungssystem zu lösen.
I. 6-3t=3s
II. 6t=3s
III. 6-6t=3-3s
Du kannst doch über das 3s direkt Gleichung 1 und 2 Gleichsetzen, dann bekommst du:
[mm] 6-3t=6t\Leftrightarrow t=\frac{2}{3}
[/mm]
Damit dann, da aus 6t=3s folgt 2t=s ergibt sich:
[mm] s=2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}
[/mm]
Und mit [mm] s=\frac{4}{3} [/mm] und [mm] t=\frac{2}{3} [/mm] wird die dritte Gleichung nicht erfüllt, denn
[mm] \underbrace{6-6\cdot\frac{2}{3}}_{2}\ne\underbrace{3-3\dot\frac{4}{3}}_{-1}
[/mm]
>
> Wie muss ich jetzt weitermachen? Mich irritiert es, dass
> ich für s einmal [mm]\bruch{4}{3}[/mm] und einmal 1 rausbekommen
> habe. Ist das ein Widerspruch?? Wie wird der Schnittpunkt
> berechnet?
Du hast in der Tat einen Widerspruch, also keinen Schnittpunkt.
Da die Geraden auch nicht parallel sind, müssen sie dann windschief sein.
Marius
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Ist das denn aber so richtig, wie ich das gerechnet habe???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 So 12.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Ist das denn aber so richtig, wie ich das gerechnet habe???
Ja, aber viel zu kompliziert. Wenn du bei Ebenen im Raum später mehr als zwei Variablen hsat, wird das ganze mit deinem Verfahren de facto nicht mehr sauber lösbar sein. Dann musst du auf den Gauß-Algorithmus zurückgreifen.
Bei diesen Gleichungssystemem mit zwei Variablen aber drei Gleichungen solltest du aus zwei Gleichungen die beiden Variablen berechnen, und dann prüfen, ob du mit der Lösung dann die dritte Gleichung erfüllen kannst.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 So 12.05.2013 | | Autor: | leasarfati |
Okay, vielen Dank für deine Hilfe!!!
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