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| Aufgabe | Von den Ergebnissen A und B ist bekannt:
P(A) = [mm] \bruch{7}{16}, [/mm] P(B) = [mm] \bruch{3}{4} [/mm] P( [mm] \overline{A} \cup \overline{B}) [/mm] = [mm] \bruch{9}{16}
[/mm]
Berechne folgende Wahrscheinlichkeiten:
a) A [mm] \cup [/mm] B b) [mm] \overline{A} \cup [/mm] B c) A [mm] \cup \overline{B} [/mm] d) [mm] \overline{A} \cap [/mm] B |
Hallo,
habe die obige Aufgabe die zwar einfach ausschaut, aber ich komm einfach nicht drauf. Hätte es über die Vierfeldertafel probiert als auch über:
P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A) + P(B) - P(A [mm] \cap [/mm] B), aber wie komme ich dann auf P(A [mm] \cap [/mm] B)? Ich glaube ich stehe im Moment total auf dem Schlauch...
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Wurzel,
> Von den Ergebnissen A und B ist bekannt:
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> P(A) = [mm]\bruch{7}{16},[/mm] P(B) = [mm]\bruch{3}{4}[/mm] P( [mm]\overline{A} \cup \overline{B})[/mm] = [mm]\bruch{9}{16}[/mm]
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> Berechne folgende Wahrscheinlichkeiten:
>
> a) A [mm]\cup[/mm] B b) [mm]\overline{A} \cup[/mm] B c) A [mm]\cup \overline{B}[/mm]
> d) [mm]\overline{A} \cap[/mm] B
> Hallo,
>
> habe die obige Aufgabe die zwar einfach ausschaut, aber ich
> komm einfach nicht drauf. Hätte es über die Vierfeldertafel
> probiert als auch über:
> P(A [mm]\cup[/mm] B) = P(A) + P(B) - P(A [mm]\cap[/mm] B), aber wie komme
> ich dann auf P(A [mm]\cap[/mm] B)? Ich glaube ich stehe im Moment
> total auf dem Schlauch...
Zwei weitere Regeln brauchst Du noch, nämlich:
[mm] P(\overline{A}) [/mm] = 1 - P(A)
und die Gesetze von de Morgan, hier:
[mm] \overline{A} \cup \overline{B} [/mm] = [mm] \overline{A \cap B}
[/mm]
So kriegst Du nämlich raus, dass
P(A [mm] \cap [/mm] B) = 1 - [mm] \bruch{9}{16} [/mm] = [mm] \bruch{7}{16} [/mm] ist.
Reicht Dir das als Hinweis?
mfG!
Zwerglein
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Hallo Zwerglein,
vielen Dank schonmal für deine Hilfe. Dank Deiner Hilfe habe ich zumindest Aufgabe a) schoneinmal verinnerlichen können, dennoch bitte ich Dich, folgendes einmal anzuschauen.
b) [mm] P(\overline{A} \cup [/mm] B) = [mm] p(\overline{A}) [/mm] + p(B) - [mm] p(\overline{A} \cap [/mm] B)
= [mm] \bruch{9}{16} [/mm] + [mm] \bruch{3}{4} [/mm] - ??
c) P(A [mm] \cup [/mm] B) = p(A) + p(B) - p(A [mm] \cap [/mm] B)
d) [mm] P(\overline{A} \cap [/mm] B) = [mm] p(\overline{A}) [/mm] + p(B) - [mm] p(\overline{A} \cup [/mm] B)
Insbesondere zu dem Teil, welcher subtrahiert wird habe ich noch eine Frage. Ist die Bildung so wie ich sie gemacht habe korrekt? Kann man sagen, dass IMMER aus [mm] \cup [/mm] ein [mm] \cap [/mm] und aus [mm] \cap [/mm] ein [mm] \cup [/mm] wird? Desweiteren ist mir nicht klar wie man [mm] p(\overline{A} \cap [/mm] B) berechnet.
Vielen Dank für deine Hilfe
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Hi, Wurzel,
> b) [mm]P(\overline{A} \cup[/mm] B) = [mm]p(\overline{A})[/mm] + p(B) - > [mm]p(\overline{A} \cap[/mm] B)
> = [mm]\bruch{9}{16}[/mm] + [mm]\bruch{3}{4}[/mm] - ??
Mach mal ein Venn-Diagramm. Dann siehst Du:
[mm] \overline{A} \cap [/mm] B ist das, was von B übrigbleibt, wenn man A [mm] \cap [/mm] B weglässt!
Daher: [mm] P(\overline{A} \cap [/mm] B) = P(B) - P(A [mm] \cap [/mm] B)
(c und d funktionieren nach demselben Muster!)
> Insbesondere zu dem Teil, welcher subtrahiert wird, habe ich
> noch eine Frage. Ist die Bildung so wie ich sie gemacht
> habe korrekt? Kann man sagen, dass IMMER aus [mm]\cup[/mm] ein [mm]\cap[/mm]
> und aus [mm]\cap[/mm] ein [mm]\cup[/mm] wird?
Ja! Das ist einfach der "Satz von Sylvester".
> Desweiteren ist mir nicht klar
> wie man [mm]p(\overline{A} \cap[/mm] B) berechnet.
Siehe oben!
Und nochmals: Venn-Diagramme sind hier das entscheidende Hilfsmittel!
mfG!
Zwerglein
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Vielen Dank! Mir fehlt hier eindeutig die Übung, denn selbst mit Diagramm fällt es mir recht schwer die Bedinungen richtig einzuordnen. Vielleicht liegts auch am aktuellen Geisteszustand, oder mangelnder Intelligenz (na hoffentlich nicht ;))
Ich würde Dich bitten hier kurz drüber zu schauen, ob ich einen Fehler drin habe:
b) [mm] P(\overline{A} \cup [/mm] B) = [mm] P(\overline{A}) [/mm] + P(B) - [mm] P(\overline{A} \cap [/mm] B)
-> [mm] P(\overline{A} \cap [/mm] B) = P(B) - P(A [mm] \cap [/mm] B)
c) P(A [mm] \cup \overline{B}) [/mm] = P(A) + [mm] P(\overline{B}) [/mm] - P(A [mm] \cap \overline{B})
[/mm]
-> P(A [mm] \cap \overline{B}) [/mm] = P(A) - P(A [mm] \cap [/mm] B)
d) [mm] P(\overline{A} \cap [/mm] B) = [mm] P(\overline{A} [/mm] + P(B) - [mm] P(\overline{A} \cup [/mm] B)
-> [mm] P(\overline{A} \cup [/mm] B) = [mm] P(\overline{A} [/mm] + P(A [mm] \cap [/mm] B)
Vielen Dank!
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Hi, Wurzel,
> Vielen Dank! Mir fehlt hier eindeutig die Übung, denn
> selbst mit Diagramm fällt es mir recht schwer die
> Bedinungen richtig einzuordnen. Vielleicht liegts auch am
> aktuellen Geisteszustand, oder mangelnder Intelligenz (na
> hoffentlich nicht ;))
Nee, nee, nur mangelnde Übung!
> Ich würde Dich bitten hier kurz drüber zu schauen, ob ich
> einen Fehler drin habe:
>
> b) [mm]P(\overline{A} \cup[/mm] B) = [mm]P(\overline{A})[/mm] + P(B) - [mm]P(\overline{A} \cap[/mm] B)
Ist OK!
> -> [mm]P(\overline{A} \cap[/mm] B) = P(B) - P(A [mm]\cap[/mm] B)
Richtig!
> c) P(A [mm]\cup \overline{B})[/mm] = P(A) + [mm]P(\overline{B})[/mm] - P(A [mm] \cap \overline{B})
[/mm]
>
> -> P(A [mm]\cap \overline{B})[/mm] = P(A) - P(A [mm]\cap[/mm] B)
Alles klar!
> d) [mm]P(\overline{A} \cap[/mm] B) = [mm]P(\overline{A})[/mm] + P(B) - [mm]P(\overline{A} \cup[/mm] B)
>
> -> [mm]P(\overline{A} \cup[/mm] B) = [mm]P(\overline{A})[/mm] + P(A [mm]\cap[/mm] B)
Stimmt auch!
mfG!
Zwerglein
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Hi Zwerglein,
vielen, vielen Dank für Deine Hilfe. Du bist eindeutig mein Held der nächsten Woche :)
mfg
[mm] (\wurzel{x})²
[/mm]
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