Berechnung der Arbeit < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man betrachte eine Punktmasse m unter Einwirkung einer Kraft F(t) = [mm] F_{0}[cos(wt) [/mm] x + sin(wt) y ], hierbei sind [mm] F_{0} [/mm] und w Konstanten, und x und y jeweils die Einheitsvektoren entlang der x und y Achse.
a) Zeigen Sie, dass [mm] r_{1}(t) [/mm] = [mm] (\bruch{F_{0}}{mw^{2}})((1-cos(wt)) [/mm] x+(wt-sin(wt)) y) eine mögliche Trajektorie des Teilchens ist.
b) Berechnen Sie die entlang [mm] r_{1}(t) [/mm] im Intervall [0, [mm] \pi/w] [/mm] verrichtete Arbeit.
c) Zeigen Sie, dass [mm] r_{2}(t) [/mm] = [mm] -(\bruch{F_{0}}{mw^{2}})((cos(wt)) [/mm] x+(sin(wt)) y) ebenfalls eine mögliche Trajektorie des Teilchens ist.
d) Berechnen Sie die entlang [mm] r_{2}(t) [/mm] im Intervall [0, [mm] \pi/w] [/mm] verrichtete Arbeit.
e) Ist F (t) eine konservative Kraft? Weshalb? |
a) und c) habe ich bereits gelöst, indem ich die Gleichung nach x und y Komponente getrennt hingeschrieben habe, jeweils die Bewegungsgleichungen aufgestellt habe und dann die Bahnkurve zwei mal abgeleitet und verglichen habe.
e) Müßte sich daraus ergeben, dass bei b) und d) das selbe herauskommt.
Mein eigentliches Problem liegt bei den Aufgaben b) und d).
Die Arbeit ist ja gegeben durch [mm] \integral_{0}^{\pi/w}{F * ds}. [/mm] Nun muß ich ja nach der Zeit t integrieren, aber habe kein dt sondern ein ds im Integral. Habe mir nun schon überlegt, ds durch v * dt zu ersetzen, aber da ich kein v habe, bringt mich das auch nicht weiter. Nun würde mich sehr interessieren, wie ich von diesem ds auf einen Ausdruck komme, damit ich nach der Zeit integrieren kann.
Soweit habe ich das Integral bereits umgeformt:
[mm] \integral_{0}^{\pi/w}{F * ds} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi/w}{F_{x} * ds_{x}} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{\pi/w}{F_{y} * ds_{y}}. [/mm] Nun fehlt mir noch noch etwas für ds.
Vielen Dank für eure Hilfe :)
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Hallo!!!
Also du sollst die Arbeit entlang der Strecke berechnen. Das Ergebnis soll ein Skalar sein und du darfst nicht vergessen, dass dein kleines Wegelement [mm] \vec{ds} [/mm] auch ein Vektor ist.
Am besten du Zeichnest dir mal die Bahn und dann berechnest du dir einmal die Ableitung [mm] \bruch{\vec{dr}}{dt}
[/mm]
Dann wirst du feststellen, dass dieser Vektor immer gerade tangential an dem berechneten Punkt verläuft. Also diese Größe bzw. Vektor ist dein [mm] \vec{ds}. [/mm] Nun brauchst du nur mehr [mm] \vec{F} [/mm] einsetzen und das Skalarprodunkt bilden => Du hast keinen Vektor mehr drein. Übrigens ist das Intervall [mm] [0,\Pi/w] [/mm] ein ZEITINTERVALL. Deine Bahn ist quasi über die Zeit parametrisiert und über diese Integrierst du auch. Du musst nur dein kleines Wegelement berechnen. Hoffe dass ich die geholfen habe. Mfg daniel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo ihr!
Ich hätte da nochmal was zu der Frage...
Also, wenn ich [mm] d\vec{s} [/mm] als [mm] \bruch{d\vec{r}}{dt} [/mm] ausdrücke, dann erhalte ich ja
[mm] W=\integral_{0}^{\Pi/\omega}{\vec{F}d\vec{s}}=\integral_{0}^{\Pi/\omega}{\vec{F}\bruch{d\vec{r}}{dt}}
[/mm]
Ich kann jetzt also [mm] \vec{r}(t) [/mm] jeweils ableiten und dann das Skalarprodukt damit mit [mm] \vec{F} [/mm] bilden. Dann habe ich ja das Integral über einen Skalar. Nur nach welcher Variable integriere ich jetzt dies?
Irgendwie komm ich da nicht so ganz damit zurecht!
Freu mich über jede Hilfe!
Lg, Kübi
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
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Hallo.
Du integrierst natürlich nach der Größe die du in den Grenzen hast. Nämlich der ZEIT t!!!!
[mm] \integral_{a}^{b}{f(t) dt} [/mm] wobei f(t) dein Skalarprodukt ist und [mm] \vec{ds}= (\vec{dr}/dt)*dt!!!
[/mm]
mfg daniel
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