Berechnung der Dyname < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Do 16.02.2012 | | Autor: | Melly |
| Aufgabe | | An drei Eckpunkten eines Würfels mit der Kantenlänge a greifen die Kräfte [mm] F_1= F(1,0,0)^T, F_2= F(3,0,0)^T, F_3= F(0,0,-4)^T [/mm] an. Man bestimme die Kraftschraube und die Zentralachse des Kraftsystems. |
Hallo,
ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter. Die Dyname setzt sich ja aus der Resultierenden Kraft (=R) und dem Resultierendenmoment um den Punkt 0 [mm] (=M_R^{(0)}) [/mm] zusammen. Die Resultierende lässt sich durch Addition aller Kraftvektoren (= F(4, 0, [mm] -4)^T) [/mm] einfach berechnen. Bei der Bestimmung von [mm] M_R^{(0)} [/mm] hab ich jedoch Probleme mit der Formel:
[mm] M_R^{(0)} [/mm] = [mm] \summe_{}^{}M_i^{(0)} [/mm] = [mm] \summe_{}^{}r_i \times F_i [/mm] = aF (-4, 0, [mm] -3)^T
[/mm]
Die Summe aller [mm] r_i [/mm] müsste ja [mm] r_1 [/mm] + [mm] r_2 [/mm] + [mm] r_3 [/mm] = (0, 2, [mm] 1)^T [/mm] ergeben.
Jetzt meine Frage: Ich muss ja das Kreuzprodukt mit [mm] F_i [/mm] ausrechnen, aber was bedeutet das [mm] F_i [/mm] jetzt genau? Die Summe aller Kräfte ist es ja nicht, sonst würde ja das Summenzeichen davor stehen. Also mit jeder Kraft einzeln das Kreuzprodukt mit [mm] \summe_{}^{}r_i [/mm] ausrechnen und addieren oder? Selbst dann komm ich nicht auf das richtige Ergebnis.
Wenn ich mit [mm] r_i [/mm] und [mm] F_i [/mm] rechne kommt folgendes raus:
[mm] \summe_{}^{}r_i \times F_1 [/mm] = aF (0, -1, [mm] -2)^T
[/mm]
[mm] \summe_{}^{}r_i \times F_2 [/mm] = (0, 3a, [mm] -6aF)^T
[/mm]
[mm] \summe_{}^{}r_i \times F_3 [/mm] = (-8a, 0, [mm] 0)^T
[/mm]
Und wie geht es jetzt weiter? Alles addieren würde =(-8a, a(3-1F), [mm] -8aF)^T [/mm] ergeben und das führt auch nicht zur Lösung :(
Hier nochmal die richtige Lösung:
Wir ermitteln zunächst die Dyname bezüglich eines beliebigen Bezugspunktes. Dafür wählen wir zweckmäßig den Koordinatenursprung 0. Zur Bestimmung der Momente der Kräfte bezüglich 0 benötigen wir die Ortsvektoren zu den Kraftangriffspunkten:
[mm] r_1 [/mm] = 0, [mm] r_2 [/mm] = [mm] a(0,1,0)^T, r_3 [/mm] = [mm] a(0,1,1)^T
[/mm]
Für die Dyname (R, [mm] M_R^{(0)}) [/mm] erhält man damit:
R = [mm] \summe_{}^{}F_i [/mm] = F (4, 0, [mm] -4)^T [/mm]
und
[mm] M_R^{(0)}= \summe_{}^{}M_i^{(0)}= \summe_{}^{}r_i \times F_i [/mm] = aF (-4, 0, [mm] -3)^T
[/mm]
Das Moment [mm] M_R^{(P)} [/mm] der Kraftschraube ( R, [mm] M_R^{P} [/mm] ) können wir mit der Formel [mm] \bruch{R \* M_R^(0)}{R^2} \*R [/mm] bestimmen: [mm] \bruch{1}{2}aF [/mm] (-1, 0, [mm] 1)^T
[/mm]
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Fr 17.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch
$ [mm] M_R^{(0)} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{}^{}M_i^{(0)} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{}^{}r_i \times F_i =r_1\times F1+r_2\timesF_2+r_3\times [/mm] F3$
was du ausrechnest scheint aber :
$ [mm] \summe_{}^{}r_i \times F_1 =r_1\times F_1+r_2\times F_1+r_3\times F_1$ [/mm]
dieser ausdruck macht keinen Sinn, da ja [mm] F_1 [/mm] nur bei [mm] r_1 [/mm] angreift. das Drehmoment , das [mm] F_1 [/mm] ausübt relativ zu 0 hängt doch nur von dem Abstand von [mm] F_1 [/mm] zu 9 ab, die anderen Punkte, in denen andere Kräfte angreifen haben damit doch nichts zu tun.
je der einzelnen Kräfte übt ein drehmoment aus, dass man das Drehmoment einer Kraft als [mm] r\times [/mm] F berechnet weisst du, und dann addierst du die Drehmomente aller Kräfte.
vielleicht denkst du besser als M= [mm] \summe_{i=1}^{n}M_i
[/mm]
wbei die [mm] M_i [/mm] die Drehmomente der einzelnen Kräfte sind.
Gruss leduart
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