Berechnung des Differentials < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Fr 30.04.2010 | | Autor: | kevin-m. |
| Aufgabe | a) [mm] $f:M\to [/mm] N$ ist konstant ($M, N$ seien diff'bare Mannigfaltigkeiten). Was ist [mm] $df_p$ [/mm] ?
b) M diff'bare Mannigfaltigkeit und [mm] $f,g:M\to \mathbb [/mm] R$ seien diff'bare Abbildungen. Was ist dann [mm] $d(fg)_p$ [/mm] ?
c) [mm] $f:S^n \to \mathbb [/mm] R, [mm] \quad f(p)=p_1+p_2+...+p_{n+1}$. [/mm] Was ist [mm] $df_p$? [/mm] |
Hallo,
in den Aufgaben geht es darum, jeweils das Differential [mm] $df_p$ [/mm] einer Funktion $f$ an einem Punkt $p [mm] \in [/mm] M$ zu ermitteln.
Das Differential von [mm] $f:M\to [/mm] N$ an der Stelle p ist definiert als Abbildung zwischen den Tangentialräumen zweier Mannigfaltigkeiten:
[mm] $df_p [/mm] : [mm] T_p [/mm] M [mm] \to T_{f(p)} [/mm] N, [mm] \quad [\alpha] \to [/mm] [f [mm] \circ \alpha]$
[/mm]
Wenn ich a) in die Def. einsetze, dann bekomme ich alle Äquivalenzklassen von Kurven, die konstant sind. Aber wieso ist das 0 (denn es müsste ja 0 herauskommen) ?
Bei b) muss [mm] $f\cdot [/mm] g$ als Komposition zu verstehen? Das kann eigentilch gar nicht sein, weil g Werte in [mm] $\mathbb [/mm] R$ annimmt, aber der Urbildbereich von f ist ja M und nicht [mm] $\mathbb [/mm] R$...
Und bei der letzten bin ich ratlos, wie ich durch Verwendung der Definition (also mit diesen Äquivalenzklassen) auf das Differential kommen soll..
Ich dachte zuerst, dass das Differential gleich dem Vektor $(1,1,...,1)$ (n-mal) ist, aber bin mir da überhaupt nicht sicher...
Ich würde mich freuen wenn ihr mir helfen könntet
Viele Grüße
Kevin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Fr 30.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Das Differential von [mm]f:M\to N[/mm] an der Stelle p ist definiert
> als Abbildung zwischen den Tangentialräumen zweier
> Mannigfaltigkeiten:
>
> [mm]df_p : T_p M \to T_{f(p)} N, \quad [\alpha] \to [f \circ \alpha][/mm]
Hattet ihr dann noch weitere Charakterisierungen? Lokale Koordinatenform?
> Wenn ich a) in die Def. einsetze, dann bekomme ich alle
> Äquivalenzklassen von Kurven, die konstant sind. Aber
> wieso ist das 0 (denn es müsste ja 0 herauskommen) ?
Weil die konstante Kurve (also die Äquiv.klasse davon) genau die 0 im Tangentialraum ist.
> Bei b) muss [mm]f\cdot g[/mm] als Komposition zu verstehen?
Nein, Multiplikation. Man will wohl auf eine Form a la [m](f*g)'=f'*g+g'*f[/m] hinaus (mit entsprechenden Identifikationen).
> Und bei der letzten bin ich ratlos, wie ich durch
> Verwendung der Definition (also mit diesen
> Äquivalenzklassen) auf das Differential kommen soll..
Naja, da man ja beliebig die Koordinaten umtransformeiren kann (im Zweifel halt orientierungserhaltend), musst du eigtl. nur sehn, ob es surjektiv ist oder nicht, also der Rang, im Zweifl noch das Vorzeichen. Für mehr brauchst du eine (wie auch immer geartete) Form des Tangentialraums, die mehr Struktur hat. (Jedes Differential in lokalen Koordinaten kann man mit [or.erhaltenenen] Transformationen so verändern, dass nur der Rank gleich bleibt, also kann man OBdA sowieso von der Zeilenstufenform des Differentials in lokalen Koordinaten ausgehn).
> Ich dachte zuerst, dass das Differential gleich dem Vektor
> [mm](1,1,...,1)[/mm] (n-mal) ist, aber bin mir da überhaupt nicht
> sicher...
Es ist ungleich 0. Der Rest hängt von deinen Koordinaten ab.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Fr 30.04.2010 | | Autor: | kevin-m. |
> > Das Differential von [mm]f:M\to N[/mm] an der Stelle p ist definiert
> > als Abbildung zwischen den Tangentialräumen zweier
> > Mannigfaltigkeiten:
> >
> > [mm]df_p : T_p M \to T_{f(p)} N, \quad [\alpha] \to [f \circ \alpha][/mm]
>
> Hattet ihr dann noch weitere Charakterisierungen? Lokale
> Koordinatenform?
Wir haben noch den Satz über die Transformation kanonischer Basen bewiesen. Die Aussage des Satzes ist:
Sei [mm] $f:M\to [/mm] N$ eine [mm] $C^1$-Abbildung, [/mm] $(U,x)$ zulässige Karte um [mm] $p\in [/mm] M$ und $(V,y)$ zulässige Karte um [mm] $f(p)\in [/mm] N$. Dann gilt:
$$
[mm] df_p(\partial_{x^i}(p))=\sum _{j=1}^m\frac{\partial(y \circ f \circ x^{-1})^j}{\partial x^i}\partial_ {y^j}(f(p))
[/mm]
$$
Die [mm] $\partial_{x^i}$ [/mm] sind die kanonischen Basisvektoren des Tangentialraums und die sind so definiert:
[mm] $\partial_{x^i}:=[x^{-1}(x(p)+te_i)], [/mm] \ i=1,...,n$
Das $x$ ist immer eine Kartenabbildung von einer Mannigfaltigkeit in den [mm] $\mathbb R^n$.
[/mm]
Wir haben dann ein Beispiel gemacht mit [mm] $M=\mathbb R^2$, [/mm] dass die kanonischen Basisvektoren bezüglich den euklidischen Koordinaten gerade
durch [mm] $\partial_{x^1}=e_1,\ \partial_{x^2}=e_2$ [/mm] gegeben sind [mm] ($e_1, e_2$ [/mm] sollen aber als Äquivalenzklasse von Kurven aufgefasst werden) und auch noch mit Polarkoordinaten ein Beispiel gemacht.
> > Wenn ich a) in die Def. einsetze, dann bekomme ich alle
> > Äquivalenzklassen von Kurven, die konstant sind. Aber
> > wieso ist das 0 (denn es müsste ja 0 herauskommen) ?
>
> Weil die konstante Kurve (also die Äquiv.klasse davon)
> genau die 0 im Tangentialraum ist.
Ok. Das ist mir nun klar, weil jeder Tangentialraum ein Vektorraum ist und der ein neutrales Element haben muss.
> > Bei b) muss [mm]f\cdot g[/mm] als Komposition zu verstehen?
>
> Nein, Multiplikation. Man will wohl auf eine Form a la
> [m](f*g)'=f'*g+g'*f[/m] hinaus (mit entsprechenden
> Identifikationen).
Soll man zwei Funktionen multiplizieren, indem man ihre Funktionswerte an jeder Stelle miteinander multipliziert?
> > Und bei der letzten bin ich ratlos, wie ich durch
> > Verwendung der Definition (also mit diesen
> > Äquivalenzklassen) auf das Differential kommen soll..
>
> Naja, da man ja beliebig die Koordinaten umtransformeiren
> kann (im Zweifel halt orientierungserhaltend), musst du
> eigtl. nur sehn, ob es surjektiv ist oder nicht, also der
> Rang, im Zweifl noch das Vorzeichen. Für mehr brauchst du
> eine (wie auch immer geartete) Form des Tangentialraums,
> die mehr Struktur hat.
Da ja die Sphäre immer eine Untermannigfaltigkeit des [mm] $\mathbb R^d$ [/mm] ist, kann ich ja auch diese Definition des Tangentialraums verwenden:
[mm] $T_p [/mm] M [mm] =\{\alpha'(0) \ | \ \alpha:(-\varepsilon , \varepsilon )\to M,\ \alpha(0)=p\}$
[/mm]
Für abstrakte Mannigfaltigkeiten ist der Tangentialraum so definiert:
[mm] $T_p M=\{[\alpha]\ |\ \alpha \in K_p M \}$, [/mm] wobei [mm] $K_p [/mm] M$ die Menge aller Kurven durch p in M sind. Und [mm] $[\alpha]$ [/mm] sind alle Kurven die zu [mm] $\alpha$ [/mm] tangential äquivalent sind.
Aber so ne richtige Berechnungsmöglichkeit sehe ich immer noch nicht.
Gruß,
Kevin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Fr 30.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> > Nein, Multiplikation. Man will wohl auf eine Form a la
> > [m](f*g)'=f'*g+g'*f[/m] hinaus (mit entsprechenden
> > Identifikationen).
>
> Soll man zwei Funktionen multiplizieren, indem man ihre
> Funktionswerte an jeder Stelle miteinander multipliziert?
Klar.
> Da ja die Sphäre immer eine Untermannigfaltigkeit des
> [mm]\mathbb R^d[/mm] ist, kann ich ja auch diese Definition des
> Tangentialraums verwenden:
>
> [mm]T_p M =\{\alpha'(0) \ | \ \alpha:(-\varepsilon , \varepsilon )\to M,\ \alpha(0)=p\}[/mm]
Naja, dass ist dieselbe wie die abstrakte, irgendwie.
> Aber so ne richtige Berechnungsmöglichkeit sehe ich immer
> noch nicht.
Da kannst du nicht viel berechnen - das einzige was unter Transformation der Koordinaten erhalen bleibt, ist der Rang des Differentials (in lokalen Koordinaten). Wenn du besondere Koordinaten gegeben hast (es gibt da spezielle, ohne zu weit auszuholen), dann kannst du dir das meist lokal anschauen und die Jacobi-Matrix lokal berechnen. Frag vielleicht einfach mal nach, was du da tun sollst.
SEcki
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