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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 So 12.06.2005 | | Autor: | Lessa |
Hallo, haben folgende Aufgabe:
Sei f=f(x,y): [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] eine Funktion so dass
[mm] \bruch{ \partial f}{ \partial y} (x_{0},y_{0}) \not=0
[/mm]
nach dem Satz über implizite Funktionen gibt es eine Funktion g(x), die in einer Umgebung U von [mm] x_{0} [/mm] definiert ist, so dass [mm] g(x_{0})=y_{0} [/mm] und f(x,g(x))=0 für alle x aus U.
in der Vorlesung haben wir gezeigt, dass mit f(x,g(x))=0 über ganz U (also konstant)
f'(x,g(x))= [mm] f_{x} (x,g(x))+f_{y}(x,g(x))*g'(x)=0 [/mm] also
g'(x)=- [mm] \bruch{ f_{x}}{ f_{y}}(x,g(x))
[/mm]
wobei [mm] f_{x}(x,g(x))= \bruch{ \partial f}{ \partial x} [/mm] (x,g(x))
nun sollen wir so auch eine Formel für die zweite Ableitung finden (mit [mm] f_{xx}, f_{xy} [/mm] und [mm] f_{yy} [/mm] .
Bin mir aber nicht sicher, wie man das weiter ableiten kann.
Betrachtet man da die Ableitung der Ableitung oder die Ableitungen der beiden partiellen?
Wäre super, wenn da jemand einen Tipp hätte. Müssen nämlich mit dem Ergebnis weiter rechnen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Di 14.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Lessa!
Man kann das doch einfach mit der Kettenregel (und zwischendrinnen Produktregel) weiter ableiten:
> f'(x,g(x))= [mm]f_{x} (x,g(x))+f_{y}(x,g(x))*g'(x)=0[/mm] also
Daraus folgt:
$0 = [mm] f_{xx}(x,g(x)) [/mm] + [mm] f_{xy}(x,g(x)) [/mm] g'(x) + [mm] f_{yx}(x,g(x))*g'(x) [/mm] + [mm] f_{yy}(x,g(x)) \cdot (g'(x))^2 [/mm] + [mm] f_y(x,g(x))g''(x)$.
[/mm]
Und das kann man dann nach $g''(x)$ auflösen...
Viele Grüße
Stefan
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