Berechnung m. komplexen Zahlen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 So 29.10.2006 | | Autor: | sorry_lb |
| Aufgabe | a) Skizzieren Sie folgende Punktmengen in der komplexen Ebene, die durch die Ungleichungen
1<|z-3|<3 bzw. - [mm] \bruch{ \pi }{4} [/mm] < Arg (z+i) < [mm] \bruch{ \pi }{4}
[/mm]
beschrieben werden (arg z - Argument der komplexen Zahl z)
b) Berechnen Sie (-1+i [mm] \wurzel{3} )^{30}
[/mm]
c) Beweisen Sie für beliebige [mm] z_{1},z_{2}\in\IC [/mm] mit [mm] z_{2} \not= [/mm] 0 die Beziehung [mm] \overline{(z_{1}/z_{2})}=\overline{z_{1}}/\overline{z_{2}} [/mm] |
Hallöle.
also zu a) Wir haben diese Woche komplexe Zahlen eingeführt, von denen ich bis jetzt allerdings noch nie etwas gehört hatte. Kann mir zu diesem Zwecke vielleicht jemand einen guten link nennen, wo das Skizzieren erklärt wird?
zu b) es gab noch zwei andere aufgaben, die ich denke mal auch richtig gelöst habe, aber die hoch 30 iritieren mich doch ein wenig. gibt es da jetz einen kurzen weg?
zu c) ich hasse beweise *schnief
ich danke schonmal für die mühe.
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 So 29.10.2006 | | Autor: | sorry_lb |
Hat keiner nen Tipp??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 So 29.10.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo sorry_lb,
da Du überhaupt keinen Lösungsansatz angibst, kann ich hier nur ein paar allgemeine Tipps zu den Aufgaben geben.
Zu a) Wenn Du die komplexe Zahl z in der Form z = a+ib in einem kartesischen Koordinatensystem einträgst, also der Realteil der Zahl als x-Wert, der Imaginärteil als y-Wert, so kannst Du Dir in diesem Koordinatensystem relativ leicht überlegen, welches Gebiet durch die beiden Ungleichungen beschrieben wird. Tipp: Die erste Ungleichung beschreibt einen Kreisring um den Wert 3 herum. Näheres zur Darstellungsweise findest Du unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Ebene
Zu b) Schreibe die Zahl in Polarkoordinaten um, dann wird es einfacher. Die Länge des Vektors vom Ursprung zur Zahl [mm] -1 + i \wurzel{3} [/mm] wird mit 30 potenziert, der Winkel zur x-Achse um den Wert 30 vergrößert.
Zu c) Ein direkter Beweis ist hier am einfachsten. Der Strich über der komplexen Zahl macht aus der komplexen Zahl die konjugiert komplexe Zahl. Sie hat den gleichen Realteil, aber der Imaginärteil dreht sein Vorzeichen um. Aus [mm] z = a + ib [/mm] wird hierdurch [mm] \overline{z} = a - ib [/mm]. Und jetzt braucht man nur noch beide Seiten der Gleichung getrennt voneinander auszurechnen. Multipliziere am besten dazu den Ausdruck
$$ [mm] \bruch{a_1 + i b_1}{a_2 + i b_2} [/mm] $$ mit einer geschickt gewählten Eins, nämlich mit
$$ [mm] \bruch{a_2 - i b_1}{a_2 - i b_2} [/mm] $$ und Du wirst sehen, was dann beim Ausmultiplizieren passiert.
Viel Spaß dabei,
Infinit
|
|
|
|
