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Forum "Stochastik" - Berechnung v. Wahrscheinlichk.
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Berechnung v. Wahrscheinlichk.: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:58 Fr 27.05.2005
Autor: Back-Up

Hallo,

[mm] \mu [/mm] = 3
[mm] \sigma [/mm] = 2

Ohne Werte:
[mm] P(|X-\mu| \le [/mm] c)
= [mm] \Phi (\bruch{c}{\sigma})-\Phi (-\bruch{c}{\sigma}) [/mm]
= [mm] \Phi (\bruch{c}{\sigma})-|1-\Phi (\bruch{c}{\sigma})| [/mm]
= [mm] 2*\Phi (\bruch{c}{\sigma})-1 [/mm]

Werte eingesetzt:
P(|X-3| [mm] \le [/mm] 0,5)
= [mm] 2*\Phi (\bruch{0,5}{2})-1 [/mm]
= [mm] 2*\Phi [/mm] (0,25)-1
= 0,1974

Ich kann die Rechnung ohne Werte bereits nicht nachvollziehen. Kann da jemand Licht ins Dunkle bringen? Gleich die 1. Zeile mit dem Gleichheitszeichen ist mir unverständlich. Ist c=0,5 beliebig oder muss das 0,5 sein, wenn [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] gegeben sind?

Verstanden habe ich folgende Rechnung:
P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] \Phi (\bruch{x-\mu}{\sigma}) [/mm]


Gruß

        
Bezug
Berechnung v. Wahrscheinlichk.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 Fr 27.05.2005
Autor: Julius

Hallo Back-Up!

Also, $c [mm] \ge [/mm] 0$ ist hier beliebig.

Ich schreibe es mal ausführlicher auf, vielleicht wird es dir ja dann klarer:

[mm] $P(|X-\mu| \le [/mm] c)$

$=P(-c [mm] \le X-\mu \le [/mm] c)$

[mm] $=P(X-\mu \le [/mm] c) - [mm] P(X-\mu [/mm] < -c)$

[mm] $=P(X-\mu \le [/mm] c) - P(X- [mm] \mu \le [/mm] -c)$   (da einzelne Punkte keine Masse haben bei der Normalverteilung)

$=P [mm] \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{c}{\sigma} \right) [/mm] - P [mm] \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \le -\frac{c}{\sigma} \right)$ [/mm]

$= [mm] \Phi\left( \frac{c}{\sigma} \right) [/mm] -  [mm] \Phi\left( -\frac{c}{\sigma} \right)$ [/mm]

$= [mm] \Phi\left( \frac{c}{\sigma} \right) [/mm] -  [mm] \left(1 - \Phi\left(\frac{c}{\sigma} \right) \right)$ [/mm]

$=2 [mm] \Phi\left( \frac{c}{\sigma} \right) [/mm] -1$.

Ist es jetzt klarer? :-)

Wenn nein: Welchen Schritt verstehst du jetzt nihct?

Viele Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
Berechnung v. Wahrscheinlichk.: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 Fr 27.05.2005
Autor: Back-Up

Es ist verständlicher :-). Mein eigentliches Verständnisproblem bleibt aber. Ich verstehe diesen Schritt nicht:

$=P [mm] \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{c}{\sigma} \right) [/mm] - P [mm] \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \le -\frac{c}{\sigma} \right)$ [/mm]

$= [mm] \Phi\left( \frac{c}{\sigma} \right) [/mm] -  [mm] \Phi\left( -\frac{c}{\sigma} \right)$ [/mm]

Warum steht nur das [mm] \bruch{c}{\sigma} [/mm] in der Klammer?


Gruß

Bezug
                        
Bezug
Berechnung v. Wahrscheinlichk.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 Fr 27.05.2005
Autor: Julius

Hallo!

> Es ist verständlicher :-). Mein eigentliches
> Verständnisproblem bleibt aber. Ich verstehe diesen Schritt
> nicht:
>  
> [mm]=P \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{c}{\sigma} \right) - P \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \le -\frac{c}{\sigma} \right)[/mm]
>
> [mm]= \Phi\left( \frac{c}{\sigma} \right) - \Phi\left( -\frac{c}{\sigma} \right)[/mm]
>  
> Warum steht nur das [mm]\bruch{c}{\sigma}[/mm] in der Klammer?

Nun, es ist so: Die Zufallsvariable $X$ ist (eventuell auch nur näherungsweise, das weiß ich nicht, weil du darüber nichts aussagst) normalverteilt mit Erwartungswert [mm] $\mu$ [/mm] und Standardabweichung [mm] $\sigma$. [/mm]

Wenn ich diese Zufallsvariable standardisiere, wenn ich also den Erwartungswert abziehe und dann das Ergebnis durch die Standardabweichung teile, dann ist die Zufallsvarible standardnormalverteilt.

Sprich:

[mm] $\tilde{X}= \frac{X-\mu}{\sigma}$ [/mm]

ist standardnormalverteilt.

Daher gilt:

[mm]=P \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{c}{\sigma} \right) - P \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \le -\frac{c}{\sigma} \right)[/mm]

[mm]= P\left (\tilde{X} \le \frac{c}{\sigma} \right) - P \left( \tilde{X} \le -\frac{c}{\sigma} \right)[/mm]

[mm]= \Phi\left( \frac{c}{\sigma} \right) - \Phi\left( -\frac{c}{\sigma} \right)[/mm]


Beachte bitte: Wenn $Z$ standardnormalverteilt ist, dann gilt:

$P(Z [mm] \le [/mm] z) [mm] =\Phi(z)$. [/mm]

Viele Grüße
Julius


Bezug
                                
Bezug
Berechnung v. Wahrscheinlichk.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:40 Fr 27.05.2005
Autor: Back-Up

Danke! Verstanden :-).

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