Berechnung v. Wahrscheinlichk < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein regionaler Rundfunksender veranstaltet das Spiel "Heiteres Kandidatenraten", wobei man einen Begriff erraten soll. Ein Hörer ist sich sicher, das Lösungswort zu kennen und ruft beim Sender an. Dabei dringt man mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,05 bis zu einer Warteschleife vor. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zufallsgenerator den Anrufer aus der Warteschleife heraus auswählt, beträgt [mm] \bruch{1}{60}.
[/mm]
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, höchstens 2 Anrufe, höchstens 3 Anrufe bzw. höchstens n Anrufe für die Mitteilung der richtigen Lösung zu benötigen. |
Ich weiß, dass man natürlich [mm]P(X\le2)[/mm] bzw. [mm]P(X\le3)[/mm] bzw. [mm]P(X\le n)[/mm] rechnen muss.
In der Lösung steht:
[mm] p=0,05*\bruch{1}{60}
[/mm]
[mm]q=1- p = \bruch{1199}{1200}[/mm]
[mm]P(X\le2) = 1-P(X>2) = 1-q^{2}[/mm]
und
[mm]P(X\le3) = 1-P(X>3) = 1-q^{3}[/mm]
und
[mm]P(X\len) = 1-P(X>n) = 1-q^{n}[/mm]
Die Ergebnisse sind eher unwichtig für mich. Ich verstehe nicht, wieso [mm]P(X>n) = q^{n}[/mm] bzw. [mm]1-P(X>n) = 1-q^{n}[/mm].
Das Gegenereignis von "höchstens 2 Anrufe" ist "mehr als 2 Anrufe". Wieso wird mindestens 2 Anrufe durch [mm] q^{2} [/mm] dargestellt? Wären das nicht genau 2 Anrufe?
Danke im Voraus
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Es muss oben "Ich weiß, dass man natürlich [mm]P(X\le2)[/mm] bzw. [mm]P(X\le3)[/mm] bzw. [mm]P(X\le n)[/mm] rechnen muss. " heißen
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Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine Geometrische Verteilung. Das heißt man zählt die Versuche die notwendig sind bis man einen Erfolg hat.
Für die Wahrscheinlichkeit im k-ten Versuch Erfolg zu haben gilt:
[mm] P(X=k)=p*q^k
[/mm]
Für die Wahscheinlichkeit mehr als k Versuche zu benötigen gilt dann:
[mm] P(X>k)=q^k
[/mm]
Dieser Zusammenhang gilt allgemein bei Geometrischen Verteilungen und wird zb. im Mathe-Studium bewiesen. Ich glaube von Schülern wird eher erwartet, dass sie erkennen das es sich um eine Geometrische Verteilung handelt und die richtige Formel benutzen.
Aber man kann auch anders auf die Lösung kommen. zb für [mm] P(X\le2):
[/mm]
Das entspricht den Ereignissen direkt beim ersten mal oder beim zweitem Versuch durchzukommen. Also:
[mm] P(X\le2)= [/mm] P(X=1) + P(X=2) = p + p*q = p + (1-p)*p= p + p - [mm] p^2 [/mm] = [mm] -p^2 [/mm] +2p - 1 + 1 = [mm] -(1-2p+p^2) [/mm] +1 = [mm] -(1-p)^2 [/mm] +1 = [mm] -q^2 [/mm] +1 = [mm] 1-q^2
[/mm]
Für [mm] P(X\le3) [/mm] kann man analog vorgehen.
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