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| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{30}(-1)^{-k}2^{k+2}\vektor{32 \\ k} [/mm] |
Guten Tag... es brauch sich keiner die Mühe machen und die Aufgabe lösen, ich erhoffe mir einfach nur eine kleine Idee wie man diese Aufgabe am besten berechnen kann.. ich glaube nicht, dass es nötig ist alles einzelnd zu berechnen.. da gibt es doch sicher irgendeine Möglichkeit etwas zusammenzufassen, wegzukürzen oder auszuklammern?
Also bei [mm] \vektor{32 \\ 4} [/mm] und [mm] \vektor{32 \\ 28} [/mm] usw kommt ja das selbe Ergebnis heraus, also ist in der Aufgabe schon mal eine Regelmäßigkeit vorhanden.. durch dieses [mm] (-1)^{-k} [/mm] ändert sich gleichmäßig das Vorzeichen.. sieht da jemand eine Möglichkeit den lässtigen Weg alles einzelnd zu berechen, zu umgehen?
Vielen Dank schon mal .)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Mo 20.10.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> [mm]\summe_{k=1}^{30}(-1)^{-k}2^{k+2}\vektor{32 \\ k}[/mm]
> Guten
> Tag... es brauch sich keiner die Mühe machen und die
> Aufgabe lösen, ich erhoffe mir einfach nur eine kleine Idee
> wie man diese Aufgabe am besten berechnen kann.. ich glaube
> nicht, dass es nötig ist alles einzelnd zu berechnen.. da
> gibt es doch sicher irgendeine Möglichkeit etwas
> zusammenzufassen, wegzukürzen oder auszuklammern?
>
> Also bei [mm]\vektor{32 \\ 4}[/mm] und [mm]\vektor{32 \\ 28}[/mm] usw kommt
> ja das selbe Ergebnis heraus, also ist in der Aufgabe schon
> mal eine Regelmäßigkeit vorhanden.. durch dieses [mm](-1)^{-k}[/mm]
> ändert sich gleichmäßig das Vorzeichen.. sieht da jemand
> eine Möglichkeit den lässtigen Weg alles einzelnd zu
> berechen, zu umgehen?
> Vielen Dank schon mal .)
beachte, daß [mm] $(-1)^{-k} [/mm] = [mm] (-1)^{32-k}$ [/mm] ist.
Schreibe die Summe dann für k=0 bis k=32, klammere [mm] $2^2$ [/mm] aus und wende den binomischen Lehrsatz an.
Schließlich mußt du die zuviel berechneten Summanden k=0, 31, 32 wieder abziehen.
LG
Will
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Ich habe es noch immer nicht ganz verstanden, bin ganze Zeit am rechnen.. aber es will noch nicht so ganz, also ich habe nun folgendes gemacht:
$ [mm] \summe_{k=1}^{30}(-1)^{-k}2^{k+2}\vektor{32 \\ k} [/mm] $
$ [mm] \summe_{k=0}^{n}x^{n-k}y^{k}\vektor{n \\ k} [/mm] $ = [mm] (x+y)^{n}
[/mm]
$ [mm] \summe_{k=0}^{32}(-1)^{n-k}2^{k+2}\vektor{32 \\ k} [/mm] $ - [mm] (((-1)^{32}+2^{2})^{32} [/mm] + [mm] ((-1)^{1}+2^{33})^{32} [/mm] + [mm] ((-1)^{0}+2^{34})^{32} [/mm] )
[mm] 2^{2} (((-1)^{32}+2^{0})^{32} [/mm] + [mm] ((-1)^{31}+2^{1})^{32} [/mm] + [mm] ((-1)^{30}+2^{2})^{32} [/mm] .... + [mm] ((-1)^{1}+2^{31})^{32}((-1)^{0}+2^{32})^{32} [/mm] ) - [mm] (((-1)^{32}+2^{2})^{32} [/mm] + [mm] ((-1)^{1}+2^{33})^{32} [/mm] + [mm] ((-1)^{0}+2^{34})^{32} [/mm] )
Ich habe sehr stark das Gefühl das ist so noch falsch oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo matzew!
Du hast noch einen der Tipps ignoriert, mit [mm] $2^n$ [/mm] auszuklammern.
[mm] $$\summe_{k=1}^{30}(-1)^{-k}*2^{k+2}*\vektor{32 \\ k} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{30}(-1)^{32-k}*2^{k}*2^2*\vektor{32 \\ k} [/mm] \ = \ [mm] 2^2*\summe_{k=1}^{30}(-1)^{32-k}*2^{k}*\vektor{32 \\ k} [/mm] \ = \ ...$$
Anschließend solltest Du den binomischen Lehransatz auch wirklich anwenden und (u.a.) einen Ausdruck der Form [mm] $(-1+2)^{32}$ [/mm] erhalten. diesen term kann man nun noch drastisch vereinfachen.
Gruß
Loddar
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