Berechnung von Flächeninhalten < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Mi 13.09.2006 | | Autor: | Jay-Jay |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aufgabe:
Bestimme t > 1 so, dass die von der Parabel K: y=tx - x² und der X-Achse eingeschlossene Fläche von der 1. Winkelhalbierenden halbiert wird.
W: y=x
K: y=-x² + tx
[mm] I_1=I_2 (I_1=Fläche [/mm] zwischen der Winkelhalbierenden und der Parabel ; [mm] I_2=Fläche [/mm] zwischen der Winkelhalbierenden und der X-Achse )
Jetzt habe ich zuerst die beiden Schnittpunkte der beiden Graphen errechnet.
[mm] x_1=0
[/mm]
[mm] x_2=t-1
[/mm]
Dann die gesamte Fläche zwicshen der X-Achse und der Parabel berechnet, hier kam ich auf A = - 1/3 t³ + (t-1)/2 t²
Jedoch bringt mich das irgendwie nicht besonderes weiter bzw. ich weiß nicht was ich jetzt machen soll.
Kann mir irgendjemand helfen?
Danke schonmal im Voraus:)
|
|
| |
|
Nachtrag:
Meine folgenden Ausführungen sind nicht richtig. Ich habe die falschen Flächen miteinander verglichen. Hoffentlich habe ich damit niemanden allzu sehr verwirrt. Die Richtigstellung siehe in der Mitteilung von SLe. Um den Fortgang der Diskussion besser nachvollziehen zu können, lasse ich dennoch alles in seiner ursprünglichen Gestalt.
Es ist richtig, daß sich Gerade und Parabel bei [mm]x=t-1[/mm] schneiden. Aber man braucht das gar nicht. Es seien [mm]f(x),g(x)[/mm] die Funktionsterme für die Parabel bzw. Gerade, und es sei [mm]c \in [0,t][/mm] die Stelle, wo sich Parabel und Gerade schneiden (in Wahrheit ist [mm]c=t-1[/mm]). Bis zur Stelle [mm]x=c[/mm] liegt die Parabel oberhalb, ab der Stelle [mm]x=c[/mm] liegt die Gerade oberhalb. Da die beiden Teilflächen gleich sein sollen, läuft das auf
[mm]\int_0^c~\left( f(x) - g(x) \right)~\mathrm{d}x \ = \ \int_c^t~\left( g(x) - f(x) \right)~\mathrm{d}x[/mm]
hinaus. Wenn man die rechte Seite nach links bringt, folgt:
[mm]\int_0^c~\left( f(x) - g(x) \right)~\mathrm{d}x \ + \ \int_c^t~\left( f(x) - g(x) \right)~\mathrm{d}x \ = 0[/mm]
[mm]\int_0^t~\left( f(x) - g(x) \right)~\mathrm{d}x \ = \ 0[/mm]
[mm]\int_0^t~\left( tx - x^2 - x \right)~\mathrm{d}x \ = \ 0[/mm]
Die letzte Gleichung ist nach [mm]t[/mm] aufzulösen. Gesucht ist ein [mm]t>1[/mm].
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Mi 13.09.2006 | | Autor: | Jay-Jay |
und wie lautet meine gleichung wenn ich die nach t auflöse?
ich weiß nicht wie ich z.b. bei tx=0 nach t auflösen soll, ich kann doch nicht einfach durch t teilen oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Do 14.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo jay jay
Die Fläche bis t , die ja halbiert werden soll rechnest du als erstes.
Wenn du die Fläche unter der Winkelhalbierenden bis t-1 ausrechnest und das von der Fläche der Parabel bis t-1 abziehst muss das die Hälfte sein.
Wenn dus aufzeichnest ist es sicher noch klarer. Es muss ja das Stück der Parabel oberhalb der Wh. die Hälfte sein.
Zur Kontrolle: ich hab t=6 raus, aber bitte selber nachrechnen ich mach auch Fehler!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:34 Do 14.09.2006 | | Autor: | SLe |
Man kann doch hier nicht einfach f-g von 0 bis t-1 und dann g-f von t-1 bis t
gleichsetzen. Sondern: f-g von 0 bis t-1 integriert = g von 0 bis t-1 integriert + f von t-1 bis t integriert.
|
|
|
| |
|
Du hast recht. Das ist ziemlicher Blödsinn, den ich da verfaßt habe. Dabei hätte ein genauer Blick auf meine Skizze genügt.
|
|
|
|
