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Forum "Uni-Stochastik" - Berechnung von Gewichten
Berechnung von Gewichten < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Berechnung von Gewichten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:53 Mi 08.12.2010
Autor: janisE

Aufgabe
a)
Gegeben seien zwei Zufallsvariablen X und Y auf einen Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega,\mathcal{F},\mathcal{P}) [/mm] mit Werten in [mm] \IZ [/mm]und Gewichten

[mm] p_X(k) := P(\{X = k \}), p_Y(k) := P(\{Y = k \}) \forall k \in \IZ [/mm]

Bestimmen Sie bei Annahme der Unabhängigkeit von X und Y eine allgemeine Formel für die Gewichte der ZV S := X + Y.

b)
Seien [mm] \lambda_1,\lambda_2 [/mm] zwei unabhängig Poisson([mm] \lambda_1 [/mm]) bzw. Poisson([mm] \lambda_2 [/mm]) verteilte Zufallsvariablen. Bereichen Sie die Verteilung (Gewichte) von S := X + Y.

Hinweis: Verwenden Sie die Formel aus a)


Hallo!

Bisher habe ich mir nur die a) angesehen, da ich die b) ohne das Ergebnis aus a) nicht machen kann...

zur a)

Was ich mir zur Aufgabe überlegt habe: Die ZV X und Y sind gegeben, und ich suche also [mm] p_S(k) = P(\{S = k\}) = P(\{(X+Y) = k\}) [/mm] und muss versuchen irgendwie durch Umformen [mm] p_S(k) [/mm] über [mm] p_X(k) [/mm] und [mm] p_Y(k) [/mm] auszudrücken, richtig?

Also, [mm] P(\{(X+Y) = k\}) = \sum\limits_{i=0}^k P(X = k) \cdot P(Y = k - i) = \sum\limits_{i=0}^k p_X(k) \cdot p_Y(k)[/mm]

Stimmt das so weit bzw. war es das?

Danke!



        
Bezug
Berechnung von Gewichten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:43 Do 09.12.2010
Autor: janisE

Hallo!

Könnt ihr mir bitte sagen, ob mein Ansatz korrekt ist?

Vielen Dank!


Bezug
        
Bezug
Berechnung von Gewichten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 Fr 10.12.2010
Autor: ullim

Hi,

> zur a)
>  
> Was ich mir zur Aufgabe überlegt habe: Die ZV X und Y sind
> gegeben, und ich suche also [mm]p_S(k) = P(\{S = k\}) = P(\{(X+Y) = k\})[/mm]
> und muss versuchen irgendwie durch Umformen [mm]p_S(k)[/mm] über
> [mm]p_X(k)[/mm] und [mm]p_Y(k)[/mm] auszudrücken, richtig?
>  
> Also, [mm]P(\{(X+Y) = k\}) = \sum\limits_{i=0}^k P(X = k) \cdot P(Y = k - i) = \sum\limits_{i=0}^k p_X(k) \cdot p_Y(k)[/mm]
>  
> Stimmt das so weit bzw. war es das?
>  

Ich glaube Du bist mit den Indizes etwas durcheinander gekommen. Richtig ist

[mm] P(\{(X+Y)=k\})=\sum\limits_{i=0}^k P(X=i)\cdot P(Y=k-i)=\sum\limits_{i=0}^k p_X(i) \cdot p_Y(k-i) [/mm]

denn die Summe muss ja immer noch k ergeben.

  


Bezug
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