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Berechnung von Grenzwerten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:51 Do 07.11.2013
Autor: mtr-studi

Aufgabe
Berechne folgende Grenzwerte, falls diese exisitieren.

(1)
[mm] \lim_{k \rightarrow \infty}{\frac{2k(1+k)^k}{k^{k+1}}} [/mm]

(2)
[mm] \lim_{k \rightarrow \infty}{\frac{k+(-1)^k}{k^2+1}} [/mm]

ich habe ein Problem bei einer Aufgabe mit Grenzwerten

In beiden Fällen wäre ich hier ja bei einem [mm] \frac{\infty}{\infty}, [/mm] was bietet sich hier zur Umformung an?
Dürfte man bei der ersten Aufgabe zuerst das k ausklammern und dann kürzen? Dann hätte ich unten wenigstens einen konstanten Wert mit [mm] 1^{k+1}. [/mm]

Würde es bei der 2. Aufgabe auch einfach nur aufs Ausklammern hinauslaufen oder muss man noch speziell auf das [mm] (-1)^k [/mm] eingehen?

Vielen Dank im Voraus!


        
Bezug
Berechnung von Grenzwerten: zu Aufgabe (1)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:56 Do 07.11.2013
Autor: Roadrunner

Hallo mtr-studi!



>  [mm]\lim_{k \rightarrow \infty}{\frac{2k(1+k)^k}{k^{k+1}}}[/mm]
>
>  Dürfte man bei der ersten Aufgabe zuerst das k
> ausklammern und dann kürzen?

[ok]


> Dann hätte ich unten wenigstens einen konstanten Wert mit [mm]1^{k+1}.[/mm]

[eek] Wie bitte?

Nein - im Nenner gilt gemäß den allseits bekannten MBPotenzgesetzen:

[mm] $k^{k+1} [/mm] \ = \ [mm] k^k*k^1 [/mm] \ = \ [mm] k*k^k$ [/mm]

Nun kannst Du wirklich kürzen.

Wenn Du den Rest dann in eine Klammer schreibst, sollte ein bekannter Grenzwert entstehen.


Gruß vom
Roadrunner

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Bezug
Berechnung von Grenzwerten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:58 Do 07.11.2013
Autor: mtr-studi

Also eigentlich sollte da ja als Ergebnis 2 e rauskommen, aber entspricht
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}2 (\frac{1+k}{k})^2 =\limes_{k\rightarrow\infty}2 (1+\frac{1}{k})^2 [/mm] denn denn dem gleichen wie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}2 (1+\frac{x}{n})^2 [/mm] ?

Bei der anderen Form haben wir ja noch ein x und hier eine Konstante.

Vielen Dank!!

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Bezug
Berechnung von Grenzwerten: falscher Exponent
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Do 07.11.2013
Autor: Roadrunner

Hallo mtr-studi!


> Also eigentlich sollte da ja als Ergebnis 2 e rauskommen,

[ok] Genau!



> aber entspricht  [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}2 (\frac{1+k}{k})^2 =\limes_{k\rightarrow\infty}2 (1+\frac{1}{k})^2[/mm] denn denn dem gleichen wie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}2 (1+\frac{x}{n})^2[/mm]  ?

Aufgepasst. Der Exponent muss jeweils $k_$ lauten und nicht 2!


> Bei der anderen Form haben wir ja noch ein x und hier eine Konstante.

Betrachte den Spezialfall $x \ = \ 1$ und vergleiche!


Gruß vom
Roadrunner

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Bezug
Berechnung von Grenzwerten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:09 Do 07.11.2013
Autor: mtr-studi

Achso es gilt also für alle x. :-)

Vielen Dank für die schnelle Antwort, hast mir sehr geholfen.

Bezug
                                        
Bezug
Berechnung von Grenzwerten: Ergänzung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:12 Do 07.11.2013
Autor: Roadrunner

Hallo mtr-studi!


Nur, damit hier kein Missverständnis aufkommt ... es gilt:

[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{\red{x}}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \exp(x) [/mm] \ = \ [mm] e^{\red{x}}$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner

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Bezug
Berechnung von Grenzwerten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:17 Do 07.11.2013
Autor: mtr-studi

Ok das ist wirklich gut zu wissen, denn ich dachte jetzt gerade, dass es einfach für alle x die eulersche Zahl ergeben würde, diese Annahme war ja falsch!
Danke

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Bezug
Berechnung von Grenzwerten: zu Aufgabe (2)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 Do 07.11.2013
Autor: Roadrunner

Hallo mtr-studi!


>  [mm]\lim_{k \rightarrow \infty}{\frac{k+(-1)^k}{k^2+1}}[/mm]
>  
> Würde es bei der 2. Aufgabe auch einfach nur aufs
> Ausklammern hinauslaufen

[ok] Ja.


> oder muss man noch speziell auf das [mm](-1)^k[/mm] eingehen?

Nicht, wenn man richtig ausklammert und kürzt.

Klammere in Zähler und Nenner jeweils [mm] $k^2$ [/mm] aus.


Gruß vom
Roadrunner

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Bezug
Berechnung von Grenzwerten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:16 Do 07.11.2013
Autor: mtr-studi

[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \frac{k+(-1)^k}{k^2+1}=\limes_{k\rightarrow\infty} \frac{k^2(\frac{1}{k}+\frac{(-1)^k}{k^2})}{k^2(1+\frac{1}{k^2})}=\limes_{k\rightarrow\infty} \frac{\frac{1}{k}+\frac{(-1)^k}{k^2}}{1+\frac{1}{k^2}}=\frac{0}{1} [/mm]

Reicht das hier so?

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Bezug
Berechnung von Grenzwerten: Ergebnis?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Do 07.11.2013
Autor: Roadrunner

Hallo mtr-studi!

> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \frac{k+(-1)^k}{k^2+1}=\limes_{k\rightarrow\infty} \frac{k^2(\frac{1}{k}+\frac{(-1)^k}{k^2})}{k^2(1+\frac{1}{k^2})}=\limes_{k\rightarrow\infty} \frac{\frac{1}{k}+\frac{(-1)^k}{k^2}}{1+\frac{1}{k^2}}=\frac{0}{1}[/mm]
>
> Reicht das hier so?

Wenn Du nun noch das Endergebnis hinschreibst, ja. [ok]


Gruß vom
Roadrunner

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Berechnung von Grenzwerten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 Do 07.11.2013
Autor: mtr-studi

Ok vielen Dank !!

Ich hatte noch zwei Grenzwerte, vielleicht könntest du dort auch kurz einen Blick auf meine Lösung werfen.

(1) [mm] \limes_{n\rightarrow 2+0} \frac{2x+1}{(x-2)}=\frac{4+1}{0}=\infty [/mm]

(2) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{cos(x)}{x^2+x+6}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{x^2(\frac{cos(x)}{x^2})}{x^2(1+\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2})}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{cos(x)}{x^2}}{(1+\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2})}=\frac{0}{1}=0 [/mm]

Ich habe noch dazugeschrieben |cos(x)| <= 1, reicht das aus?

Vielen Dank!

Bezug
                
Bezug
Berechnung von Grenzwerten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Do 07.11.2013
Autor: schachuzipus

Hallo mtr,


> Ok vielen Dank !!

>

> Ich hatte noch zwei Grenzwerte, vielleicht könntest du
> dort auch kurz einen Blick auf meine Lösung werfen.

>

> (1) [mm]\limes_{n\rightarrow 2+0} \frac{2x+1}{(x-2)}=\frac{4+1}{0}=\infty[/mm]

Achtung, die Limesvariable ist nicht n sondern x; ansonsten wäre der Term ja konstant ;-)

Das stimmt vom Ergebnis, ist aber nicht schön aufgeschrieben ...


>

> (2)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{cos(x)}{x^2+x+6}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{x^2(\frac{cos(x)}{x^2})}{x^2(1+\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2})}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{cos(x)}{x^2}}{(1+\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2})}=\frac{0}{1}=0[/mm] [ok]

>

> Ich habe noch dazugeschrieben |cos(x)| <= 1, reicht das
> aus?

Ja, das ist gut!

>

> Vielen Dank!

Gruß

schachuzipus

Bezug
                        
Bezug
Berechnung von Grenzwerten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 Do 07.11.2013
Autor: mtr-studi

Wie könnte ich es besser aussehen lassen? :-)

Danke!

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Bezug
Berechnung von Grenzwerten: Lösungsvorschlag
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Sa 09.11.2013
Autor: Roadrunner

Hallo mtr-studi!


Knackpunkt ist hier die Darstellung mit der Null im Nenner.

Eine Variante wäre hier eine Substitution:

[mm] $\limes_{x\rightarrow 2+0}\bruch{2x+1}{x-2} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{\red{n\rightarrow \infty}}\bruch{2*\red{\left(2+\bruch{1}{n}\right)}+1}{\red{\left(2+\bruch{1}{n}\right)}-2} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\bruch{4+\bruch{2}{n}+1}{\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\bruch{5*n+2}{1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}(5*n+2) [/mm] \ = \ [mm] +\infty$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                        
Bezug
Berechnung von Grenzwerten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:16 Do 14.11.2013
Autor: mtr-studi

Ok, vielen Dank, ich habe es hinbekommen!

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